G1 Sea $ABC$ un triángulo escaleno acutángulo con circuncentro $O$ . Sea $D$ el pie de la altura desde $A$ al lado $BC$ . Las rectas $BC$ y $AO$ se intersecan en $E$ . Sea $s$ la recta que pasa por $E$ perpendicular a $AO$ . La recta $s$ interseca a $AB$ y $AC$ en $K$ y $L$ , respectivamente. Denotemos por $\omega$ la circunferencia circunscrita del triángulo $AKL$ . La recta $AD$ interseca a $\omega$ nuevamente en $X$ . Demuestre que $\omega$ y las circunferencias circunscritas de los triángulos $ABC$ y $DEX$ tienen un punto común.

A1 Sea $n$ ( $n \ge 1$ ) un entero. Considere la ecuación $2\cdot \lfloor{\frac{1}{2x}}\rfloor - n + 1 = (n + 1)(1 - nx)$ , donde $x$ es la variable real desconocida. (a) Resuelva la ecuación para $n = 8$ . (b) Demuestre que existe un entero $n$ para el cual la ecuación tiene al menos $2021$ soluciones. (Para cualquier número real $y$ , con $\lfloor{y} \rfloor$ denotamos el mayor entero $m$ tal que $m \le y$ . )

N4 Dragos, el antiguo gobernante de Moldavia, y María la Orácula juegan al siguiente juego. Primero, María elige un conjunto $S$ de números primos. Luego Dragos da una sucesión infinita $x_1, x_2, ...$ de enteros positivos distintos. Después María escoge un entero positivo $M$ y un número primo $p$ de su conjunto $S$ . Finalmente, Dragos escoge un entero positivo $N$ y el juego termina. Dragos gana si y solo si para todo entero $n \ge N$ el número $x_n$ es divisible por $p^M$ ; en caso contrario, gana María. ¿Quién tiene una estrategia ganadora si el conjunto S debe ser: $ \hspace{5px}$ a ) finito; $ \hspace{5px}$ b ) infinito? Propuesto por Boris Stanković, Bosnia y Herzegovina

N5 Halle todos los pares de enteros $(x, y)$ tales que $x^2 + 5y^2 = 2021y$ .

N6 Dado un entero positivo $n \ge 2$ , definimos $f(n)$ como la suma de todos los restos que se obtienen al dividir $n$ por todos los enteros positivos menores que $n$ . Por ejemplo, al dividir $5$ por $1, 2, 3$ y $4$ obtenemos restos iguales a $0, 1, 2$ y $1$ respectivamente. Por lo tanto $f(5) = 0 + 1 + 2 + 1 = 4$ . Halle todos los enteros positivos $n \ge 3$ tales que $f(n) = f(n - 1) + (n - 2)$ .

N7 Alicia elige un número primo $p > 2$ y luego Bob elige un entero positivo $n_0$ . Alicia, en el primer movimiento, elige un entero $n_1 > n_0$ y calcula la expresión $s_1 = n_0^{n_1} + n_1^{n_0}$ ; luego Bob, en el segundo movimiento, elige un entero $n_2 > n_1$ y calcula la expresión $s_2 = n_1^{n_2} + n_2^{n_1}$ ; etc., uno tras otro. (Cada jugador conoce los números elegidos por el otro en los movimientos anteriores.) El ganador es quien primero elige el número $n_k$ tal que $p$ divide a $s_k(s_1 + 2s_2 + · · · + ks_k)$ . ¿Quién tiene una estrategia ganadora? Propuesto por Borche Joshevski, Macedonia

C1 En Mathcity hay infinitos autobuses e infinitas estaciones. Las estaciones están indexadas por las potencias de $2: 1, 2, 4, 8, 16, ...$ Cada autobús pasa por un número finito de estaciones, y el número del autobús es la suma de todas las estaciones por las que pasa. Para simplificar, el alcalde de Mathcity desea que los números de los autobuses formen una progresión aritmética con diferencia común $r$ y cuyo primer término sea el número favorito del alcalde. ¿Para qué enteros positivos $r$ es siempre posible que, sin importar el número favorito del alcalde, dadas cualesquiera $m$ estaciones, haya un autobús que pase por todas ellas? Propuesto por Savinien Kreczman y Martin Rakovsky, Francia

C2 Sea $n$ un entero positivo. Se nos da un tablero $3n \times 3n$ cuyas casillas unitarias están coloreadas de blanco y negro de tal manera que, comenzando por la casilla superior izquierda, cada tercera diagonal está coloreada de negro y el resto del tablero está en blanco. En un movimiento, se puede tomar un cuadrado $2 \times 2$ y cambiar el color de todas sus casillas de tal manera que las casillas blancas se vuelven naranjas, las naranjas se vuelven negras y las negras se vuelven blancas. Halle todos los $n$ para los cuales, usando un número finito de movimientos, podemos volver blancas todas las casillas que inicialmente eran negras, y negras todas las casillas que inicialmente eran blancas. Propuesto por Boris Stanković y Marko Dimitrić, Bosnia y Herzegovina

C3 Tenemos un conjunto de $343$ frascos cerrados, cada uno con canicas azules, amarillas y rojas, siendo el número de canicas de cada color al menos $1$ y a lo sumo $7$ . No hay dos frascos con exactamente el mismo contenido. Inicialmente todos los frascos están con la tapa hacia arriba. Voltear un frasco significa cambiar su posición de tapa arriba a tapa abajo o viceversa. Está permitido elegir una terna de enteros positivos $(b; y; r) \in \{1; 2; ...; 7\}^3$ y voltear todos los frascos cuyo número de canicas azules, amarillas y rojas difiera en no más de $1$ de $b, y, r$ , respectivamente. Después de $n$ movimientos todos los frascos resultaron estar con la tapa hacia abajo. Halle el número de todos los valores posibles de $n$ , si $n \le 2021$ .

C5 Sea $M$ un subconjunto del conjunto de $2021$ enteros $\{1, 2, 3, ..., 2021\}$ tal que para cualesquiera tres elementos (no necesariamente distintos) $a, b, c$ de $M$ se tiene $|a + b - c | > 10$ . Determine el mayor número posible de elementos de $M$ .