64 Encuentra todos los enteros positivos $x$ tales que el producto de todos los dígitos de $x$ está dado por $x^2 - 10 \cdot x - 22.$

78 Se propone particionar un conjunto de enteros positivos en dos subconjuntos disjuntos $ A$ y $ B$ sujeto a las condiciones i.) 1 está en $ A$ ii.) no hay dos miembros distintos de $ A$ cuya suma sea de la forma $ 2^k + 2, k = 0,1,2, \ldots;$ y iii.) no hay dos miembros distintos de $ B$ cuya suma sea de esa forma. Demuestra que esta partición se puede realizar de manera única y determina a cuáles subconjuntos pertenecen 1987, 1988 y 1989.

Un número entero positivo se llama número doble si su representación decimal consiste en un bloque de dígitos, que no comienza con 0, seguido inmediatamente por un bloque idéntico. Así, por ejemplo, 360360 es un número doble, pero 36036 no lo es. Demuestra que hay infinitos números dobles que son cuadrados perfectos.

79 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo. Sea $L$ cualquier recta en el plano del triángulo $ABC$. Denota por $u$, $v$, $w$ las longitudes de las perpendiculares a $L$ desde $A$, $B$, $C$ respectivamente. Demuestra la desigualdad $u^2\cdot\tan A + v^2\cdot\tan B + w^2\cdot\tan C\geq 2\cdot S$, donde $S$ es el área del triángulo $ABC$. Determina las rectas $L$ para las cuales se cumple la igualdad.

74 Sea $ \{a_k\}^{\infty}_1$ una sucesión de números reales no negativos tal que: \[ a_k - 2 a_{k + 1} + a_{k + 2} \geq 0 \] y $ \sum^k_{j = 1} a_j \leq 1$ para todo $ k = 1,2, \ldots$ . Demuestra que: \[ 0 \leq a_{k} - a_{k + 1} < \frac {2}{k^2} \] para todo $ k = 1,2, \ldots$ .

El cuadrilátero \(A_1A_2A_3A_4\) es cíclico, y sus lados son \(a_1 = A_1A_2, a_2 = A_2A_3, a_3 = A_3A_4\) y \(a_4 = A_4A_1.\) Los respectivos círculos con centros \(I_i\) y radios \(r_i\) son tangentes externamente a cada lado \(a_i\) y a las prolongaciones de los lados \(a_{i+1}\) y \(a_{i-1}\). ( \(a_0 = a_4\) ). Demuestra que \[ \prod^4_{i=1} \frac{a_i}{r_i} = 4 \cdot (\csc (A_1) + \csc (A_2) )^2. \]

75 Sea $S$ un conjunto infinito de enteros que contiene al cero, y tal que las distancias entre números sucesivos nunca exceden un número fijo dado. Considera el siguiente procedimiento: Dado un conjunto $X$ de enteros, construimos un nuevo conjunto formado por todos los números $x \pm s,$ donde $x$ pertenece a $X$ y $s$ pertenece a $S.$ Partiendo de $S_0 = \{0\}$ construimos sucesivamente los conjuntos $S_1, S_2, S_3, \ldots$ usando este procedimiento. Demuestra que después de un número finito de pasos no obtenemos ningún conjunto nuevo, es decir, $S_k = S_{k_0}$ para $k \geq k_0.$

20 En el espacio se dan $n \geq 3$ puntos. Cada par de puntos determina una cierta distancia. Suponga que todas las distancias son diferentes. Conecte cada punto con el punto más cercano. Demuestre que es imposible obtener una línea poligonal (cerrada) de esta manera.

72 Considera $h+1$ tableros de ajedrez. Numera los cuadrados de cada tablero del 1 al 64 de tal manera que cuando los perímetros de cualesquiera dos tableros de la colección se hagan coincidir de cualquier manera posible, no haya dos cuadrados en la misma posición que tengan el mismo número. ¿Cuál es el valor máximo de $h$?

77 Una función $ f$ definida sobre los enteros positivos (y que toma valores enteros positivos) está dada por: $ \begin{matrix} f(1) = 1, f(3) = 3 \\ f(2 \cdot n) = f(n) \\ f(4 \cdot n + 1) = 2 \cdot f(2 \cdot n + 1) - f(n) \\ f(4 \cdot n + 3) = 3 \cdot f(2 \cdot n + 1) - 2 \cdot f(n), \end{matrix}$ para todos los enteros positivos $ n.$ Determina con demostración el número de enteros positivos $ \leq 1988$ para los cuales $ f(n) = n.$