1 Se da un grafo completo con pesos, con pesos positivos distintos, tal que en todo triángulo este es degenerado, es decir, el peso de una arista es igual a la suma de los otros dos. Demuestre que se pueden asignar valores a los vértices de este grafo tales que el peso de cada arista sea la diferencia entre los dos valores asignados a sus extremos. Propuesto por Morteza Saghafian

2 Para un entero positivo $n$ , sean $\tau(n)$ y $\sigma(n)$ el número de divisores positivos de $n$ y la suma de los divisores positivos de $n$ , respectivamente. Sean $a$ y $b$ enteros positivos tales que $\sigma(a^n)$ divide a $\sigma(b^n)$ para todo $n\in \mathbb{N}$ . Demuestre que todo factor primo de $\tau(a)$ divide a $\tau(b)$ . Propuesto por MohammadAmin Sharifi

3 La circunferencia inscrita $\omega$ del triángulo $ABC$ es tangente a los lados $CB$ y $CA$ en $D$ y $E$ , respectivamente. El punto $X$ es la reflexión de $D$ con respecto a $B$ . Suponga que la recta $DE$ es tangente a la $A$ -circunferencia exinscrita en $Z$ . Sea la circunferencia circunscrita del triángulo $XZE$ la cual interseca a $\omega$ por segunda vez en $K$ . Demuestre que la intersección de $BK$ y $AZ$ está sobre $\omega$ . Propuesto por Mahdi Etesamifard y Alireza Dadgarnia

1 Morteza tiene $100$ conjuntos. En cada paso, Mahdi puede elegir dos conjuntos distintos de entre ellos y Morteza le dice la intersección y la unión de esos dos conjuntos. Halle el menor número de pasos con los que Mahdi puede encontrar todos los conjuntos. Propuesto por Morteza Saghafian

4 Se da un cuadrilátero cíclico $ABCD$ con circuncentro $O$ . El punto $P$ es la intersección de las diagonales $AC$ y $BD$ . Sean $M$ y $N$ los puntos medios de los lados $AD$ y $BC$ , respectivamente. Suponga que $\omega_1$ , $\omega_2$ y $\omega_3$ son las circunferencias circunscritas de los triángulos $ADP$ , $BCP$ y $OMN$ , respectivamente. El punto de intersección de $\omega_1$ y $\omega_3$ que no está sobre el arco $APD$ de $\omega_1$ es $E$ , y el punto de intersección de $\omega_2$ y $\omega_3$ que no está sobre el arco $BPC$ de $\omega_2$ es $F$ . Demuestre que $OF=OE$ . Propuesto por Seyed Amirparsa Hosseini Nayeri

g4.1.2 Sea $\vartriangle ABC$ un triángulo isósceles con $AB = AC$. Una circunferencia que pasa por $B$ y $C$ interseca los lados $AB$ y $AC$ en $D$ y $E$ respectivamente. Se elige un punto $F$ sobre esta circunferencia tal que $EF \perp BC$. Si $BC = x$, $CF = y$, y $BF = z$, encuentra la longitud de $DF$ en términos de $x, y, z$.

5 Halle todos los $C\in \mathbb{R}$ tales que toda sucesión de enteros $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ que esté acotada inferiormente y que para todo $n\geq 2$ satisfaga $$0\leq a_{n-1}+Ca_n+a_{n+1}<1$$ sea periódica. Propuesto por Navid Safaei

6 Sean $m,n$ y $a_1,a_2,\dots,a_m$ enteros positivos arbitrarios. Alí y Mohammad juegan el siguiente juego. En cada paso, Alí elige $b_1,b_2,\dots,b_m \in \mathbb{N}$ y luego Mohammad elige un entero positivo $s$ y obtiene una nueva sucesión $\{c_i=a_i+b_{i+s}\}_{i=1}^m$ , donde $$b_{m+1}=b_1,\ b_{m+2}=b_2, \dots,\ b_{m+s}=b_s$$ El objetivo de Alí es hacer que todos los números sean divisibles por $n$ en un número finito de pasos. Halle todos los enteros positivos $m$ y $n$ tales que Alí tenga una estrategia ganadora, sin importar cuáles sean los valores iniciales $a_1, a_2,\dots,a_m$ . Aclaración: después de crear los $c_i$ , esta sucesión se convierte en la sucesión con la que continuamos jugando, es decir, es nuestra 'nueva' $a_i$ . Propuesto por Shayan Gholami

8 En el triángulo $ABC$ , con $AB<AC$ , $I$ es el incentro y $E$ es la intersección de la $A$ -circunferencia exinscrita con $BC$ . El punto $F$ está sobre la bisectriz exterior del ángulo $BAC$ tal que $E$ y $F$ están del mismo lado de la recta $AI$ y $\angle AIF=\angle AEB$ . El punto $Q$ está sobre $BC$ tal que $\angle AIQ=90$ . La circunferencia $\omega_b$ es tangente a $FQ$ y a $AB$ en $B$ , la circunferencia $\omega_c$ es tangente a $FQ$ y a $AC$ en $C$ , y ambas circunferencias pasan por el interior del triángulo $ABC$ . Si $M$ es el punto medio del arco $BC$ que no contiene a $A$ , demuestre que $M$ está sobre el eje radical de $\omega_b$ y $\omega_c$ . Propuesto por Amirmahdi Mohseni

1 En el triángulo acutángulo escaleno $ABC$ , la bisectriz exterior del ángulo $\angle BAC$ corta a $BC$ en el punto $X$ . Las rectas $l_b$ y $l_c$ son las tangentes en $B$ y $C$ con respecto a $(ABC)$ . La recta que pasa por $X$ interseca a $l_b$ y $l_c$ en los puntos $Y$ y $Z$ , respectivamente. Suponga que $(AYB)\cap(AZC)=N$ y $l_b\cap l_c=D$ . Demuestre que $ND$ es la bisectriz del ángulo $\angle YNZ$ . Propuesto por Alireza Haghi