1 Halle todos los enteros $m$ y $n$ tales que la quinta potencia de $m$ menos la quinta potencia de $n$ sea igual a $16mn$ .

2 Halle el máximo número $n$ de números de tres cifras tales que: 1. Cada uno tiene suma de cifras $9$ 2. Ninguno contiene la cifra $0$ 3. Cada $2$ tienen cifras de las unidades distintas 4. Cada $2$ tienen cifras de las decenas distintas 5. Cada $2$ tienen cifras de las centenas distintas

3 Sea $k>1$ un entero positivo y $n>2018$ un entero positivo impar. Los números racionales no nulos $x_1,x_2,\ldots,x_n$ no son todos iguales y: $$x_1+\frac{k}{x_2}=x_2+\frac{k}{x_3}=x_3+\frac{k}{x_4}=\ldots=x_{n-1}+\frac{k}{x_n}=x_n+\frac{k}{x_1}$$ Halle el valor mínimo de $k$ tal que se cumplan las relaciones anteriores.

4 Sean $\triangle ABC$ y $A'$ , $B'$ , $C'$ los simétricos de los vértices respecto a los lados opuestos. La intersección de las circunferencias circunscritas de $\triangle ABB'$ y $\triangle ACC'$ es $A_1$ . $B_1$ y $C_1$ se definen de manera análoga. Demuestre que las rectas $AA_1$ , $BB_1$ y $CC_1$ son concurrentes.

1 Los números reales $a$ , $b$ , $c$ , $d$ satisfacen simultáneamente las ecuaciones \[abc -d = 1, \ \ \ bcd - a = 2, \ \ \ cda- b = 3, \ \ \ dab - c = -6.\] Demuestre que $a + b + c + d \not = 0$ .

Encuentre todas las ternas de enteros $(x,y,z)$ que satisfacen \[ (x+z)^2+(y-z)^2=2xy+z. \] Propuesto por Bogdan Rublov

C5 Un economista y un estadístico juegan un juego en una calculadora que solo realiza una operación. La calculadora muestra únicamente enteros positivos y se usa de la siguiente manera: denótese por $n$ un entero que aparece en la calculadora. Una persona teclea un entero $m$ , elegido del conjunto $\{ 1, 2, . . . , 99 \}$ de los primeros $99$ enteros positivos, y si el $m\%$ del número $n$ es nuevamente un entero positivo, entonces la calculadora muestra el $m\%$ de $n$ . En caso contrario, la calculadora muestra un mensaje de error y esta operación no está permitida. El juego consiste en realizar alternadamente estas operaciones y el jugador que no puede realizar la operación pierde. ¿Cuántos números de $\{1, 2, . . . , 2019\}$ garantizan la estrategia ganadora para el estadístico, que juega segundo? Por ejemplo, si la calculadora muestra $1200$ , el economista puede teclear $50$ , dando el número $600$ en la calculadora; entonces el estadístico puede teclear $25$ dando el número $150$ . Ahora, por ejemplo, el economista no puede teclear $75$ , pues el $75\%$ de $150$ no es un entero positivo, pero puede elegir $40$ y el juego continúa hasta que uno de ellos no pueda teclear un número permitido Propuesto por Serbia

G3 Sea $ABC$ un triángulo con incentro $I$ . Los puntos $D$ y $E$ están sobre los segmentos $CA$ y $BC$ respectivamente, tales que $CD = CE$ . Sea $F$ un punto del segmento $CD$ . Demuestre que el cuadrilátero $ABEF$ es circunscribible si y solo si el cuadrilátero $DIEF$ es cíclico. Propuesto por Dorlir Ahmeti, Albania

G2 Sea $ABC$ un triángulo con circunferencia circunscrita $\omega$ . Sean $l_B$ y $l_C$ dos rectas que pasan por los puntos $B$ y $C$ , respectivamente, tales que $l_B \parallel l_C$ . Las segundas intersecciones de $l_B$ y $l_C$ con $\omega$ son $D$ y $E$ , respectivamente. Suponga que $D$ y $E$ están en el mismo lado de $BC$ que $A$ . La recta $DA$ interseca a $l_C$ en $F$ y la recta $EA$ interseca a $l_B$ en $G$ . Si $O$ , $O_1$ y $O_2$ son los circuncentros de los triángulos $ABC$ , $ADG$ y $AEF$ , respectivamente, y $P$ es el circuncentro del triángulo $OO_1O_2$ , demuestre que $l_B \parallel OP \parallel l_C$ . Propuesto por Stefan Lozanovski, Macedonia

N1 Halle todos los números primos $p$ para los cuales existen enteros positivos $x$ , $y$ y $z$ tales que el número $x^p + y^p + z^p - x - y - z$ es un producto de exactamente tres números primos distintos.