3. Sea \( n > 1 \) un entero y \( a_1, a_2, \ldots, a_n \) reales positivos con suma 1. a) Demuestra que existe una constante \( c \geq 1/2 \) tal que \[ \sum \frac{a_k}{1+(a_0+a_1+\cdots+a_{k-1})^2} \geq c, \] donde \( a_0 = 0 \). b) Demuestra que el valor “mejor” de \( c \) es al menos \( \frac{\pi}{4} \).

11 Un rectángulo de dimensiones $2024 \times 2023$ se rellena con piezas de los siguientes tipos: [asy] size(200); // Figure (A) draw((0,0)--(4,0)--(4,1)--(0,1)--cycle); draw((1,0)--(1,1)); draw((2,0)--(2,1)); draw((3,0)--(3,1)); // Figure (B) draw((6,0)--(8,0)--(8,2)--(6,2)--cycle); draw((7,0)--(7,2)); draw((6,1)--(8,1)); // Figure (C) draw((10,0)--(12,0)--(12,1)--(11,1)--(11,2)--(9,2)--(9,1)--(10,1)--cycle); draw((10,0)--(10,1)); draw((11,0)--(11,1)); draw((10,1)--(11,1)); draw((9,1)--(9,2)); draw((10,1)--(10,2)); draw((11,0)--(12,0)); draw((10,1)--(12,1)); // Labeling label("(A)", (2, -0.5)); label("(B)", (7, -0.5)); label("(C)", (10.5, -0.5)); [/asy] Cada pieza puede girarse, y cada cuadrado tiene lado de longitud $1$ . ¿Es posible usar exactamente 2023 piezas de tipo $(A)$ ?

8.8 Sea $ABCDE$ un pentágono de papel con $AB = AE$, $\angle A = \angle B = \angle E = 90$, $BC = 3$, $CD = 5$, $DE = 2$. Construye una perpendicular desde $A$ hasta $CD$ usando solo una regla y trazando no más de seis líneas. Todas las líneas deben dibujarse dentro del pentágono. Propuesto por A. Blinkov

9.3 Se da un triángulo $ABC$. Una recta $m_1$ corta a $BC$ , $CA$ , $AB$ en los puntos $A_1$ , $B_1$ , $C_1$ respectivamente, y una recta $m_2$ corta a $BC$ , $CA$ , $AB$ en los puntos $A_2$ , $B_2$ , $C_2$ , de modo que $A_1$ y $A_2$ son simétricos respecto al punto medio de $BC$ , $B_1$ y $B_2$ son simétricos respecto al punto medio de $CA$ , $C_1$ y $C_2$ son simétricos respecto al punto medio de $AB$ . Demuestra que $m_1 \perp m_2$ si y solo si $m_1$ y $m_2$ son dos rectas de Simson del triángulo $ABC$ (para algunos dos puntos sobre la circunferencia circunscrita de $ABC$) . Propuesto por L. Emelyanov

3 Sea $ ABC$ un triángulo no isósceles, en el que $ X,Y,$ y $ Z$ son los puntos de tangencia de la circunferencia inscrita de centro $ I$ con los lados $ BC,CA$ y $ AB$ respectivamente. Denotando por $ O$ la circunferencia circunscrita de $ \triangle{ABC}$ , la recta $ OI$ corta a $ BC$ en un punto $ D.$ La perpendicular bajada desde $ X$ a $ YZ$ interseca a $ AD$ en $ E$ . Demuestre que $ YZ$ es la mediatriz de $ [EX]$ . Maxim

2 Demuestre que la circunferencia circunscrita de un triángulo contiene exactamente 3 puntos cuyas rectas de Simson son tangentes a la circunferencia de Euler del triángulo y estos puntos son los vértices de un triángulo equilátero.

4 En un tablero hay $n$ ecuaciones de la forma $*x^2+*x+*$ . Dos personas juegan un juego en el que se turnan. Durante un turno, se permite cambiar una estrella por un número distinto de cero. Después de $3n$ movimientos, habrá $n$ ecuaciones cuadráticas. El primer jugador intenta que la mayor cantidad posible de ecuaciones no tengan raíces reales, mientras que el segundo jugador intenta lo contrario. ¿Cuál es el número máximo de ecuaciones sin raíces reales que el primer jugador puede lograr sin importar cómo actúe el segundo jugador? Amir

3 Demuestre que el pentágono $ ABCDE$ es cíclico si y solo si \[\mathrm{d(}E,AB\mathrm{)}\cdot \mathrm{d(}E,CD\mathrm{)} = \mathrm{d(}E,AC\mathrm{)}\cdot \mathrm{d(}E,BD\mathrm{)} = \mathrm{d(}E,AD\mathrm{)}\cdot \mathrm{d(}E,BC\mathrm{)}\] donde $ \mathrm{d(}X,YZ\mathrm{)}$ denota la distancia del punto $ X$ a la recta $ YZ$ .

2 Sean $a$ y $n$ dos enteros mayores que $1$ . Demuestre que si $n$ divide a $(a-1)^k$ para algún entero $k\geq 2$ , entonces $n$ también divide a $a^{n-1}+a^{n-2}+\cdots+a+1$ .

3 ¿Para qué entero positivo n se pueden colorear los números 1,2...2n con n colores, de modo que cada color se use dos veces y los números 1,2,3...n aparezcan como diferencia de dos números del mismo color exactamente una vez.