2 Sean $n$ y $k$ enteros positivos y sea $$T = \{ (x,y,z) \in \mathbb{N}^3 \mid 1 \leq x,y,z \leq n \}$$ el cubo reticular de lado $n$ . Suponga que $3n^2 - 3n + 1 + k$ puntos de $T$ están coloreados de rojo de modo que si $P$ y $Q$ son puntos rojos y $PQ$ es paralelo a uno de los ejes coordenados, entonces todo el segmento $PQ$ consiste solamente de puntos rojos. Demuestre que existen al menos $k$ cubos unitarios de lado $1$ cuyos vértices están todos coloreados de rojo.

3 Sea $q$ un entero positivo que no es un cubo perfecto. Demuestre que existe una constante positiva $C$ tal que para todo número natural $n$ se tiene $$\{ nq^{\frac{1}{3}} \} + \{ nq^{\frac{2}{3}} \} \geq Cn^{-\frac{1}{2}}$$ donde $\{ x \}$ denota la parte fraccionaria de $x$ .

5 Se da un tablero de $n\times n$ , con un entero escrito en cada casilla. En cada movimiento, puedo elegir cualquier casilla y sumar $1$ a todos los $2n-1$ números de su fila y su columna. Halle el mayor $N(n)$ tal que para cualquier elección inicial de enteros, pueda hacer un número finito de movimientos de modo que haya al menos $N(n)$ números pares en el tablero.

1 Sea $n$ un entero positivo. Sea $A_n$ el conjunto de los primos $p$ tales que existen enteros positivos $a,b$ que satisfacen que $$\frac{a+b}{p} \text{ and } \frac{a^n + b^n}{p^2}$$ son ambos enteros coprimos con $p$ . Si $A_n$ es finito, sea $f(n)$ el cardinal $|A_n|$ . a) Demuestre que $A_n$ es finito si y solo si $n \not = 2$ . b) Sean $m,k$ enteros positivos impares y sea $d$ su mcd. Demuestre que $$f(d) \leq f(k) + f(m) - f(km) \leq 2 f(d).$$

2 En el triángulo acutángulo $ABC$ , sea $\odot O$ su circunferencia circunscrita, $\odot I$ su circunferencia inscrita. Las tangentes en $B,C$ a $\odot O$ se cortan en $L$ , $\odot I$ toca a $BC$ en $D$ . $AY$ es perpendicular a $BC$ en $Y$ , $AO$ interseca a $BC$ en $X$ , y $OI$ interseca a $\odot O$ en $P,Q$ . Demuestre que $P,Q,X,Y$ son concíclicos si y solo si $A,D,L$ son colineales.

3 Considere un rectángulo $R$ particionado en $2016$ rectángulos más pequeños de modo que los lados de cada rectángulo más pequeño sean paralelos a uno de los lados del rectángulo original. Llame vértice a cada esquina de cada rectángulo. Para cualquier segmento que une dos vértices, llámelo básico si ningún otro vértice está sobre él. (Los segmentos deben ser parte de la partición.) Halle el número máximo/mínimo posible de segmentos básicos sobre todas las particiones posibles de $R$ .

5 Sea $D_n$ el conjunto de los divisores de $n$ . Halle todos los $n$ naturales tales que sea posible dividir $D_n$ en dos conjuntos disjuntos $A$ y $G$ , cada uno con al menos tres elementos, de modo que los elementos de $A$ formen una progresión aritmética mientras que los elementos de $G$ formen una progresión geométrica.

6 Se dan un entero $n \geq2$ y números reales $a,b$ tales que $0<a<b$ . Sean $x_1,x_2,\ldots, x_n\in [a,b]$ números reales. Halle el valor máximo de $$\frac{\frac{x^2_1}{x_2}+\frac{x^2_2}{x_3}+\cdots+\frac{x^2_{n-1}}{x_n}+\frac{x^2_n}{x_1}}{x_1+x_2+\cdots +x_{n-1}+x_n}.$$

2 En $\triangle AEF$ , sean $B$ y $D$ puntos de los segmentos $AE$ y $AF$ respectivamente, y sean $ED$ y $FB$ que se intersecan en $C$ . Defina $K,L,M,N$ en los segmentos $AB,BC,CD,DA$ tales que $\frac{AK}{KB}=\frac{AD}{BC}$ y sus equivalentes cíclicos. Sea la circunferencia inscrita de $\triangle AEF$ que toca a $AE,AF$ en $S,T$ respectivamente; sea la circunferencia inscrita de $\triangle CEF$ que toca a $CE,CF$ en $U,V$ respectivamente. Demuestre que $K,L,M,N$ concíclicos implica que $S,T,U,V$ son concíclicos.

1 Las sucesiones $\{u_{n}\}$ y $\{v_{n}\}$ están definidas por $u_{0} =u_{1} =1$ , $u_{n}=2u_{n-1}-3u_{n-2}$ $(n\geq2)$ , $v_{0} =a, v_{1} =b , v_{2}=c$ , $v_{n}=v_{n-1}-3v_{n-2}+27v_{n-3}$ $(n\geq3)$ . Existe un entero positivo $N$ tal que cuando $n> N$ , se tiene $u_{n}\mid v_{n}$ . Demuestre que $3a=2b+c$ .