5 Un plano contiene los puntos $A$ y $B$ con $AB = 1$ . El punto $A$ se rota en el plano en sentido antihorario un ángulo agudo $\theta$ alrededor del punto $B$ hasta el punto $A^\prime$ . Luego $B$ se rota en el plano en sentido horario un ángulo $\theta$ alrededor del punto $A^\prime$ hasta el punto $B^\prime$ . Suponga que $AB^\prime = \frac{4}{3}$ . El valor de $\cos \theta$ puede escribirse como $\frac{m}{n}$ , donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos relativos. Halle $m + n$ .

7 Halle el número de funciones $\pi$ que aplican el conjunto $A =\{1,2,3,4,5,6\}$ sobre $A$ tales que para todo $a \in A,$ \[ \pi(\pi(\pi(\pi(\pi(\pi(a)))))) = a.\]

14 En un pentágono equiángulo, la suma de los cuadrados de las longitudes de los lados es igual a $308,$ y la suma de los cuadrados de las longitudes de las diagonales es igual a $800.$ El cuadrado del perímetro del pentágono puede expresarse como $m \sqrt n,$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos y $n$ no es divisible por el cuadrado de ningún primo. Halle $m + n.$

15 Sean $a, b,$ y $n$ enteros positivos con $a$ y $b$ ambos mayores o iguales que $2$ y menores o iguales que $2n.{}$ Defina un lazo de celdas $a \times b$ en una cuadrícula $2n \times 2n$ de celdas como las $2a + 2b - 4$ celdas que rodean un rectángulo (posiblemente vacío) de $(a - 2) \times (b - 2)$ celdas en la cuadrícula. Por ejemplo, el siguiente diagrama muestra una manera de particionar una cuadrícula $6 \times 6$ de celdas en $4$ lazos de celdas. [asy] usepackage(“mathptmx”); size(6cm); dotfactor = 30; fill((0, 2)--(0, 6)--(4, 6)--(4, 2)--cycle, royalblue); fill((1, 3)--(1, 5)--(3, 5)--(3, 3)--cycle, lightred); fill((4, 0)--(4, 6)--(6, 6)--(6, 0)--cycle, lightyellow); draw((1, 1)--(3, 1)^^(5, 1)--(5, 5)^^(1, 3)--(1, 5)--(3, 5)--(3, 3)--cycle^^(0, 0)--(0, 6)--(6, 6)--(6, 0)--cycle^^(0, 2)--(4, 2)^^(4, 0)--(4, 6), linewidth(4)); dot((2, 4)); for (int i = 1; i <= 5; i += 1) { draw((0, i)--(6, i)^^(i, 0)--(i, 6)); } [/asy] Halle el número de maneras de particionar una cuadrícula ${}10 \times 10$ de celdas en $5$ lazos de celdas de modo que cada celda de la cuadrícula pertenezca a exactamente un lazo de celdas.

14 Para enteros $a$ y $b,$ sea $a \circ b = a - b$ si $a$ es impar y $b$ es par, y $a+b$ en caso contrario. Halle el número de sucesiones $a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n$ de enteros positivos tales que \[a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_n = 12 \quad \text{and} \quad a_1 \circ a_2 \circ a_3 \circ \cdots \circ a_n = 0\] donde las operaciones se realizan de izquierda a derecha; es decir, $a_1 \circ a_2 \circ a_3$ significa $(a_1 \circ a_2) \circ a_3.$

1 Halle la suma de los $10$-ésimos términos de todas las sucesiones aritméticas de enteros que tienen primer término igual a $4$ e incluyen tanto a $24$ como a $34$ como términos.

10 Sea $\triangle ABC {}$ un triángulo con lados de longitudes $AB = 13, BC = 14,$ y $CA = 15.$ El triángulo $\triangle A'B'C'$ se obtiene rotando $\triangle ABC{}$ alrededor de su circuncentro de modo que ${}\overline{A'C'}$ es perpendicular a $\overline{BC},$ con $A'$ y $B$ no en el mismo lado de la recta $B'C'.$ Halle el entero más cercano al área del hexágono $AA'CC'BB'.$

5 Encuentra el número de funciones $f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ que satisfacen $f(ab)= \frac{\gcd(f(a)+f(b) , f(a)f(b))}{\gcd(f(a), f(b))}$ para todos los números naturales $a$ y $b$.

13 Para cada entero no negativo $r$ menor que $502,$ defina \[S_r=\sum_{m\ge 0}\dbinom{10000}{502n+r},\] donde $\binom{10000}{n}$ se define como $0$ cuando $n>10000.$ Es decir, $S_r$ es la suma de todos los coeficientes binomiales de la forma $\binom{10000}{k}$ para los cuales $0\le k\le 10000$ y $k-r$ es múltiplo de $502.$ Halle el número de enteros en la lista $S_0,S_1,\dots,S_{501}$ que son múltiplos del número primo $503.$

2 La figura siguiente muestra una cuadrícula de $10$ cuadrados en una fila. Cada cuadrado tiene una diagonal que conecta su vértice inferior izquierdo con su vértice superior derecho. Un insecto se mueve a lo largo de los segmentos de recta de vértice en vértice, sin recorrer dos veces el mismo segmento y sin moverse nunca de derecha a izquierda a lo largo de un segmento horizontal o diagonal. Sea $N$ el número de trayectorias que el insecto puede tomar desde la esquina inferior izquierda ( $A$ ) hasta la esquina superior derecha ( $B$ ) . Una de esas trayectorias de $A$ a $B$ se muestra con los segmentos gruesos en la figura. Halle $\sqrt{N}$ . [asy] size(12cm); draw((0, 0)--(0, 1)); for (int i = 0; i <= 9; i += 1) { draw((i, 1)--(i + 1, 1)--(i + 1, 0)--(i, 0)--(i + 1, 1)); } draw((0, 0)--(0, 1)--(2, 1)--(2, 0)--(3, 1)--(3, 0)--(4, 1)--(4, 0)--(5, 0)--(5, 1)--(6, 1)--(6, 0)--(7, 1)--(8, 1)--(8, 0)--(10, 0)--(10, 1), red + linewidth(2)); label("$A$", (0, 0), dir(180)); label("$B$", (10, 1), dir(0)); [/asy]