2 Usted tiene una pila infinita de tetrominós en forma de T (compuestos por cuatro cuadrados de lado 1), y un tablero de n × n. Se le permite colocar algunos tetrominós sobre el tablero, posiblemente rotados, siempre que no haya dos tetrominós superpuestos y ningún tetrominó sobresalga del tablero. ¿Para qué valores de n puede cubrir todo el tablero?

3 Suponga que los números reales $a$ y $b$ satisfacen $$ab+\sqrt{ab+1}+\sqrt{a^2+b}\sqrt{a+b^2}=0.$$ Halle, con demostración, el valor de $$b\sqrt{a^2+b}+a\sqrt{b^2+a}.$$

4 Sea $d(k)$ el número de divisores enteros positivos de $k$ . Por ejemplo, $d(6) = 4$ ya que $6$ tiene $4$ divisores positivos, a saber, $1, 2, 3$ y $6$ . Demuestre que para todos los enteros positivos $n$ , $$d(1) + d(3) + d(5) +...+ d(2n - 1)\le d(2) + d(4) + d(6) + ... + d(2n).$$

2 En un triángulo $ABC$ , sea $K$ un punto sobre la mediana $BM$ tal que $CM = CK$ . Resulta que $\angle CBM = 2\angle ABM$ . Demuestre que $BC = KM$ .

5 Vishal comienza con $n$ copias del número $1$ escritas en la pizarra. Cada minuto, toma dos números $a, b$ y los reemplaza por $a+b$ o por $\min(a^2, b^2)$ . Después de $n-1$ minutos hay $1$ número en la pizarra. Sea $f(n)$ el valor máximo posible de este número. Demuestre que $2^{n/3}<f(n)\leq 3^{n/3}$ .

Sean $A$, $B$ y $C$ tres puntos no colineales y $E$ ($\ne B$) un punto arbitrario que no está en la recta $AC$. Construye los paralelogramos $ABCD$ y $AECF$. Demuestra que $BE \parallel DF$.

Dos personas, $A$ y $B$, juegan el siguiente juego: $A$ comienza eligiendo un número entero positivo y luego, cada jugador en su turno, dice un número según la siguiente regla: si el último número dicho fue impar, el jugador le suma $7$ a ese número; si el último número dicho fue par, el jugador lo divide entre $2$. El ganador es el jugador que repite el primer número dicho. Encuentra todos los números que $A$ puede elegir para ganar. Justifica tu respuesta.

1 Un juego consiste en $9$ monedas (blancas o negras) colocadas en la siguiente posición (ver figura 1). Si eliges $1$ moneda en el borde del cuadrado, esa moneda y sus vecinas cambian de color. Si eliges la moneda del centro, ella no cambia de color, pero las otras $8$ monedas sí. Aquí tienes un ejemplo de $9$ monedas blancas, y los cambios de sus colores, eligiendo la moneda indicada: (ver figura 2). ¿Es posible, empezando con $9$ monedas blancas, tener $9$ monedas negras?. José

2 Dado un cuadrado $ABCD$ de lado $1$, y un cuadrado dentro de $ABCD$ de lado $x$, encuentra (en términos de $x$) el radio $r$ del círculo tangente a dos lados de $ABCD$ y que toca al cuadrado de lado $x$. (Ver figura). José

3 Dado un número entero positivo $n$ ( $n\ne 0$ ), sea $f(n)$ el promedio de todos los divisores positivos de $n$ . Por ejemplo, $f(3)=\frac{1+3}{2}=2$ , y $f(12)=\frac{1+2+3+4+6+12}{6}=\frac{14}{3}$ . a Demuestra que $\frac{n+1}{2} \ge f(n)\ge \sqrt{n}$ . b Encuentra todos los $n$ tales que $f(n)=\frac{91}{9}$ .