10.1 Los reales $x, y$ satisfacen $x(x-6)\leq y(4-y)+7$ . Halle los valores mínimo y máximo de la expresión $x+2y$ .

3b Una $2024$ - tabla es una tabla con dos filas y $2024$ columnas que contiene todos los números $1,2,\dots,4048$ . Una tabla así está coloreada uniformemente si exactamente la mitad de los números de cada fila, y un número de cada columna, está coloreado de rojo. La suma roja en una $2024$ - tabla uniformemente coloreada es la suma de todos los números rojos de la tabla. Sea $N$ el mayor número tal que toda $2024$ - tabla tiene un coloreado uniforme con suma roja $\ge N$ . Determine $N$ , y halle el número de $2024$ - tablas tales que todo coloreado uniforme de la tabla tiene suma roja $\le N$ .

2a Se deben elegir enteros positivos $a_0<a_1<\dots<a_n$ , de modo que $a_j-a_i$ no sea primo para cualesquiera $i,j$ con $0 \le i <j \le n$ . Para cada $n \ge 1$ , determine el menor valor posible de $a_n$ .

6 Para cada primo $p$ de la forma $4k+3$ con $k \in \mathbb{Z}^+$ , considere el polinomio $$Q(x)=px^{2p} - x^{2p-1} + p^2x^{\frac{3p+1}{2}} - px^{p+1} +2(p^2+1)x^p -px^{p-1}+ p^2 x^{\frac{p-1}{2}} -x + p.$$ Determine todos los pares ordenados de polinomios $f, g$ con coeficientes enteros tales que $Q(x)=f(x)g(x)$ .

2b Halle todas las funciones $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ que satisfacen \[xf(f(x)+y)=f(xy)+x^2\] para todo $x,y \in \mathbb{R}$ .

4a El triángulo $ABC$ con $AB < AC$ tiene una altura $AD$ . Los puntos $E$ y $A$ están en lados opuestos de $BC$ , con $E$ sobre la circunferencia circunscrita de $ABC$ . Además, $AD = DE$ y $\angle ADO=\angle CDE$ , donde $O$ es el circuncentro de $ABC$ . Determine $\angle BAC$ .

1a Determine todos los enteros $n \ge 2$ tales que $n \mid s_n-t_n$ , donde $s_n$ es la suma de todos los enteros del intervalo $[1,n]$ que son primos relativos con $n$ , y $t_n$ es la suma de los enteros restantes del mismo intervalo.

9.2 Los puntos $A, B, C, D$ del plano no forman un rectángulo. Suponga que las longitudes de los lados del triángulo $T$ son $AB+CD$ , $AC+BD$ , $AD+BC$ . Demuestre que el triángulo $T$ es acutángulo.

3 Evalúe la integral $\int_0^{\infty} \frac{\log(x+2)}{x^2+3x+2}\mathrm{d}x$ .

4 Sea $n$ un entero positivo. Una clase de $n$ estudiantes corre $n$ carreras, en cada una de las cuales se les clasifica sin empates. Un estudiante es elegible para una calificación $(a,\,b)$ para enteros positivos $a$ y $b$ si queda en los primeros $b$ lugares en al menos $a$ de las carreras. Su puntuación final es el máximo valor posible de $a-b$ entre todas las calificaciones para las que es elegible. Encuentra la suma máxima posible de todas las puntuaciones de los $n$ estudiantes. Propuesto por William Steinberg, Australia KevinYang2.71