3 Un triángulo $ T$ está contenido dentro de un polígono $ M.$ con simetría central. El triángulo $ T'$ es la imagen especular del triángulo $ T$ bajo la reflexión en un punto $ P$ , que se encuentra dentro del triángulo $ T$ . Demuestre que al menos uno de los vértices del triángulo $ T'$ se encuentra en el interior o en la frontera del polígono $ M.$

2 Sean $ I(A)$ e $ I(B)$ los centros de las circunferencias exinscritas de un triángulo $ ABC,$ que tocan los lados $ BC$ y $ CA$ en su interior. Además, sea $ P$ un punto sobre la circunferencia circunscrita $ \omega$ del triángulo $ ABC.$ Demuestre que el centro del segmento que une los circuncentros de los triángulos $ I(A)CP$ e $ I(B)CP$ coincide con el centro de la circunferencia $ \omega.$

3 Se dan los polinomios $ P(x)$ y $ Q(x)$ . Se sabe que para cierto polinomio $ R(x, y)$ se cumple la identidad $ P(x) - P(y) = R(x, y) (Q(x) - Q(y))$ . Demuestre que existe un polinomio $ S(x)$ tal que $ P(x) = S(Q(x)) \quad \forall x.$

4 Una tabla rectangular tiene 9 filas y 2004 columnas. En las 9 * 2004 casillas de la tabla colocamos los números del 1 al 2004, cada uno 9 veces. Y hacemos esto de tal manera que dos números que estén en exactamente la misma columna difieran a lo sumo en 3. Halle la menor suma posible de todos los números de la primera fila.

2 Demuestre que no existe un conjunto finito que contenga más de $ 2N,$ con $ N > 3,$ vectores del plano no colineales dos a dos, y al que se apliquen las dos propiedades siguientes: 1) para $ N$ vectores arbitrarios de este conjunto siempre hay $ N-1$ vectores adicionales de este conjunto tales que la suma de estos $ 2N-1$ vectores es igual al vector cero; 2) para $ N$ vectores arbitrarios de este conjunto siempre hay $ N$ vectores adicionales de este conjunto tales que la suma de estos $ 2N$ vectores es igual al vector cero.

3 ¿Es posible escribir un número natural en cada casilla de un tablero de ajedrez infinito de tal manera que para todos los enteros $m, n > 100$ , la suma de los números de todo rectángulo de $m\times n$ sea divisible por $m + n \ ?$ Amir

2 Sea $ a_0$ un número natural. La sucesión $ (a_n)$ se define por $ a_{n+1}=\frac{a_n}{5}$ si $ a_n$ es divisible por $ 5$ , y $ a_{n+1}=[a_n \sqrt{5}]$ en caso contrario. Demuestre que la sucesión $ a_n$ es creciente a partir de algún término.

3 Se da un árbol con $n\geq 2$ vértices. (Un árbol es un grafo conexo sin ciclos.) A los vértices del árbol se les asocian números reales $x_1,x_2,\dots,x_n$ . A cada arista se le asocia el producto de los dos números correspondientes a los vértices que une. Sea $S$ la suma de los números de todas las aristas. Demuestre que \[\sqrt{n-1}\left(x_1^2+x_2^2+\dots+x_n^2\right)\geq 2S.\] (Autor: V. Dolnikov)

4 Se dan en un plano un conjunto finito de puntos $X$ y un triángulo equilátero $T$ . Suponga que todo subconjunto $X'$ de $X$ con no más de $9$ elementos puede ser cubierto por dos imágenes de $T$ mediante traslaciones. Demuestre que todo el conjunto $X$ puede ser cubierto por dos imágenes de $T$ mediante traslaciones.

1 Hay $N$ ciudades en un país. Cualesquiera dos de ellas están conectadas por una carretera o por una vía aérea. Un turista quiere visitar cada ciudad exactamente una vez y volver a la ciudad en la que comenzó el viaje. Demuestre que puede elegir una ciudad de partida y hacer un recorrido cambiando de medio de transporte a lo sumo una vez. Amir