Halle todas las funciones $f: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ tales que $$f(x+y)((f(x) - f(y))^2+f(xy))=f(x^3)+f(y^3)$$ para todos los enteros $x, y$ .

Determine todos los números reales $x$ entre $0$ y $180$ tales que sea posible particionar un triángulo equilátero en un número finito de triángulos, cada uno de los cuales tiene un ángulo de $x^{o}$ .

1 Un cubo de $3\times 3\times 3$ está hecho de 27 cubos unidad. Cada pieza contiene una lámpara, que puede estar encendida o apagada. Cada vez que se presiona una pieza (la pieza central no puede ser presionada), el estado de esa pieza y de las piezas que comparten una cara con ella cambia. Inicialmente todas las lámparas están apagadas. Determine cuáles de los siguientes estados son alcanzables: (1) Todas las lámparas están encendidas. (2) Todas las lámparas están encendidas excepto la central. (3) Solo la lámpara central está encendida.

2 Halle todos los pares $(x,y)$ de números reales que satisfacen la ecuación \[x^{2}+12xy+52y^{2}-8y+1=0.\]

2 Sea $ABC$ un triángulo escaleno acutángulo con incentro $I$ y ortocentro $H$ . Sea $M$ el punto medio de $AB$ . Sobre la recta $AH$ consideramos los puntos $D$ y $E$ , tales que la recta $MD$ es paralela a $CI$ y $ME$ es perpendicular a $CI$ . Demuestre que $AE=DH$ .

3 Halle todas las cuádruplas $(a,b,c,d)$ de enteros positivos que satisfacen $a^2+b^2=c^2+d^2$ y tales que $ac+bd$ divide a $a^2+b^2$ .

4 Sean $x_1\leq x_2\leq x_3\leq x_4$ números reales. Demuestre que existen polinomios de grado dos $P(x)$ y $Q(x)$ con coeficientes reales tales que $x_1$ , $x_2$ , $x_3$ y $x_4$ son las raíces de $P(Q(x))$ si y solo si $x_1+x_4=x_2+x_3$ .

5 Tenemos una fila de 203 celdas. Inicialmente la celda más a la izquierda contiene 203 fichas, y el resto están vacías. En cada movimiento podemos hacer una de las siguientes acciones: 1) Tomar una ficha y moverla a una celda adyacente (a la izquierda o a la derecha). 2) Tomar exactamente 20 fichas de la misma celda y moverlas todas a una celda adyacente (todas a la izquierda o todas a la derecha). Después de 2023 movimientos cada celda contiene una ficha. Demuestre que existe una ficha que se movió a la izquierda al menos nueve veces.

1 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con incentro $I$ . Sobre su circunferencia circunscrita, sean $M_A$ , $M_B$ y $M_C$ los puntos medios de los arcos menores $BC, CA$ y $AB$ , respectivamente. Demuestre que el reflejo de $M_A$ respecto a la recta $IM_B$ está en la circunferencia circunscrita del triángulo $IM_BM_C$ .

2 Los magos Albus y Brian juegan un juego en un cuadrado de lado $2n+1$ metros rodeado de lava. En el centro del cuadrado se sienta un sapo. En un turno, un mago elige una dirección paralela a un lado del cuadrado y hechiza al sapo. Esto hará que el sapo salte $d$ metros en la dirección elegida, donde $d$ es inicialmente igual a $1$ y aumenta en $1$ después de cada salto. El mago que envía al sapo a la lava pierde. Albus comienza y se turnan. Según $n$ , determine cuál mago tiene una estrategia ganadora.