Encuentra todos los números reales $a$ y $b$ que satisfacen la relación $2(a^2 + 1)(b^2 + 1) = (a + 1)(b + 1)(ab + 1)$.

Sea $ABC$ un triángulo con $AC \ne BC$. En el triángulo $ABC$, sea $G$ el baricentro, $I$ el incentro y $O$ su circuncentro. Demuestra que $IG$ es paralelo a $AB$ si, y solo si, $CI$ es perpendicular a $IO$.

Demuestra que para cada entero no nulo $n$, existen infinitos tríos de enteros no nulos $a, b$ y $c$ que satisfacen las condiciones: \n1. $a + b + c = n$ \n2. $ax^2 + bx + c = 0$ tiene raíces racionales.

Encuentra una forma de escribir todos los dígitos del $1$ al $9$ en una secuencia y sin repetición, de modo que los números determinados por dos dígitos consecutivos cualesquiera de la secuencia sean divisibles por $7$ o $13$.

Sean $n_1$ , $n_2$ , $\ldots$ , $n_{1998}$ enteros positivos tales que \[ n_1^2 + n_2^2 + \cdots + n_{1997}^2 = n_{1998}^2. \] Demostrar que al menos dos de los números son pares.

Determinar el triángulo con lados $a,b,c$ y circunradio $R$ para el cual $R(b+c) = a\sqrt{bc}$ .

Sea $ABC$ un triángulo y sea $I$ el incentro. Sean $N$ , $M$ los puntos medios de los lados $AB$ y $CA$ respectivamente. Las líneas $BI$ y $CI$ se intersecan con $MN$ en $K$ y $L$ respectivamente. Demostrar que $AI+BI+CI>BC+KL$.

Sea $\frac{x^2+y^2}{x^2-y^2} + \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2} = k$ . Calcular la siguiente expresión en términos de $k$ : \[ E(x,y) = \frac{x^8 + y^8}{x^8-y^8} - \frac{ x^8-y^8}{x^8+y^8}. \]

Demostrar que dados 9 puntos dentro de un cuadrado de lado 1, siempre podemos encontrar 3 que forman un triángulo con área menor que $\frac 18$.

Para cada entero positivo $n$ con factorización prima $n = \prod_{i = 1}^{k} p_i^{\alpha_i}$, define \[\mho(n) = \sum_{i: \; p_i > 10^{100}} \alpha_i.\] Es decir, $\mho(n)$ es el número de factores primos de $n$ mayores que $10^{100}$, contados con multiplicidad. Encuentre todas las funciones estrictamente crecientes $f: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ tales que \[\mho(f(a) - f(b)) \le \mho(a - b) \quad \text{para todos los enteros } a \text{ y } b \text{ con } a > b.\]