Sea $\mathbb{Z}_{>0}$ el conjunto de los enteros positivos. Para cualquier entero positivo $k$, una función $f: \mathbb{Z}_{>0} \to \mathbb{Z}_{>0}$ se llama $k$ - buena si $\gcd(f(m) + n, f(n) + m) \le k$ para todos $m \neq n$. Encuentre todos los $k$ tales que existe una función $k$ - buena.

Sea $\mathbb{Z}_{>0}$ el conjunto de los enteros positivos. Considere una función $f: \mathbb{Z}_{>0} \to \mathbb{Z}_{>0}$. Para cualquier $m, n \in \mathbb{Z}_{>0}$ escribimos $f^n(m) = \underbrace{f(f(\ldots f}_{n}(m)\ldots))$. Suponga que $f$ tiene las siguientes dos propiedades: (i) si $m, n \in \mathbb{Z}_{>0}$, entonces $\frac{f^n(m) - m}{n} \in \mathbb{Z}_{>0}$; (ii) El conjunto $\mathbb{Z}_{>0} \setminus \{f(n) \mid n\in \mathbb{Z}_{>0}\}$ es finito. Demuestre que la secuencia $f(1) - 1, f(2) - 2, f(3) - 3, \ldots$ es periódica.

Encuentra todos los enteros positivos $(a,b,c)$ tales que $$ab-c,\quad bc-a,\quad ca-b$$ son todos potencias de $2$ .

Suponga que $a_0, a_1, \cdots $ y $b_0, b_1, \cdots$ son dos sucesiones de enteros positivos tales que $a_0, b_0 \ge 2$ y \[ a_{n+1} = \gcd{(a_n, b_n)} + 1, \qquad b_{n+1} = \operatorname{lcm}{(a_n, b_n)} - 1. \] Demuestra que la sucesión $a_n$ es eventualmente periódica; en otras palabras, existen enteros $N \ge 0$ y $t > 0$ tales que $a_{n+t} = a_n$ para todo $n \ge N$ .

Sean $m$ y $n$ enteros positivos tales que $m>n$ . Define $x_k=\frac{m+k}{n+k}$ para $k=1,2,\ldots,n+1$ . Demuestra que si todos los números $x_1,x_2,\ldots,x_{n+1}$ son enteros, entonces $x_1x_2\ldots x_{n+1}-1$ es divisible por un primo impar.

Sean $a$ y $b$ enteros positivos tales que $a! + b!$ divide a $a!b!$ . Demuestra que $3a \ge 2b + 2$ .

Determinar todos los enteros positivos $M$ tales que la secuencia $a_0, a_1, a_2, \cdots$ definida por \[ a_0 = M + \frac{1}{2} \qquad \textrm{y} \qquad a_{k+1} = a_k\lfloor a_k \rfloor \quad \textrm{para} \, k = 0, 1, 2, \cdots \] contenga al menos un término entero.

Una triangulación de un polígono convexo $\Pi$ es una partición de $\Pi$ en triángulos por diagonales que no tienen puntos en común aparte de los vértices del polígono. Decimos que una triangulación es una Thaiangulación si todos los triángulos en ella tienen la misma área. Demuestre que dos Thaiangulaciones diferentes de un polígono convexo $\Pi$ difieren exactamente en dos triángulos. (En otras palabras, demuestre que es posible reemplazar un par de triángulos en la primera Thaiangulación con un par diferente de triángulos para obtener la segunda Thaiangulación.)

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo, y sean $P$, $Q$, $R$ y $S$ puntos en los lados $AB$, $BC$, $CD$ y $DA$, respectivamente. Sea el segmento de línea $PR$ y $QS$ se encuentran en $O$. Suponga que cada uno de los cuadriláteros $APOS$, $BQOP$, $CROQ$ y $DSOR$ tiene un incírculo. Demuestre que las líneas $AC$, $PQ$ y $RS$ son concurrentes o paralelas entre sí.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB > AC$. Sea $\Gamma$ su circuncírculo, $H$ su ortocentro, y $F$ el pie de la altitud desde $A$. Sea $M$ el punto medio de $BC$. Sea $Q$ el punto en $\Gamma$ tal que $\angle HQA = 90^{\circ}$ y sea $K$ el punto en $\Gamma$ tal que $\angle HKQ = 90^{\circ}$. Asuma que los puntos $A$, $B$, $C$, $K$ y $Q$ son todos diferentes y se encuentran en $\Gamma$ en este orden. Demuestre que los circuncírculos de los triángulos $KQH$ y $FKM$ son tangentes entre sí.