Sea $ABC$ un triángulo con $CA \neq CB$. Sean $D$, $F$ y $G$ los puntos medios de los lados $AB$, $AC$ y $BC$ respectivamente. Un círculo $\Gamma$ que pasa por $C$ y es tangente a $AB$ en $D$ se encuentra con los segmentos $AF$ y $BG$ en $H$ e $I$, respectivamente. Los puntos $H'$ e $I'$ son simétricos a $H$ e $I$ con respecto a $F$ y $G$, respectivamente. La línea $H'I'$ se encuentra con $CD$ y $FG$ en $Q$ y $M$, respectivamente. La línea $CM$ se encuentra con $\Gamma$ de nuevo en $P$. Demuestre que $CQ = QP$.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y sea $M$ el punto medio de $AC$. Un círculo $\omega$ que pasa por $B$ y $M$ se encuentra con los lados $AB$ y $BC$ en los puntos $P$ y $Q$ respectivamente. Sea $T$ el punto tal que $BPTQ$ es un paralelogramo. Suponga que $T$ se encuentra en la circunferencia circunscrita de $ABC$. Determine todos los valores posibles de $\frac{BT}{BM}$.

Sea $ABC$ un triángulo con $\angle{C} = 90^{\circ}$, y sea $H$ el pie de la altura desde $C$. Se elige un punto $D$ dentro del triángulo $CBH$ de modo que $CH$ biseca a $AD$. Sea $P$ el punto de intersección de las líneas $BD$ y $CH$. Sea $\omega$ el semicírculo con diámetro $BD$ que se encuentra con el segmento $CB$ en un punto interior. Una línea que pasa por $P$ es tangente a $\omega$ en $Q$. Demuestre que las líneas $CQ$ y $AD$ se encuentran en $\omega$.

El triángulo $ABC$ tiene circunferencia circunscrita $\Omega$ y circuncentro $O$. Un círculo $\Gamma$ con centro $A$ interseca el segmento $BC$ en los puntos $D$ y $E$, de modo que $B$, $D$, $E$ y $C$ son todos diferentes y se encuentran en la línea $BC$ en este orden. Sean $F$ y $G$ los puntos de intersección de $\Gamma$ y $\Omega$, de modo que $A$, $F$, $B$, $C$ y $G$ se encuentran en $\Omega$ en este orden. Sea $K$ el segundo punto de intersección de la circunferencia circunscrita del triángulo $BDF$ y el segmento $AB$. Sea $L$ el segundo punto de intersección de la circunferencia circunscrita del triángulo $CGE$ y el segmento $CA$. Suponga que las líneas $FK$ y $GL$ son diferentes y se intersecan en el punto $X$. Demuestre que $X$ se encuentra en la línea $AO$.

Sean $ABC$ un triángulo acutángulo con ortocentro $H$. Sea $G$ el punto tal que el cuadrilátero $ABGH$ es un paralelogramo. Sea $I$ el punto en la línea $GH$ tal que $AC$ biseca a $HI$. Suponga que la línea $AC$ interseca la circunferencia circunscrita del triángulo $GCI$ en $C$ y $J$. Demuestre que $IJ = AH$.

En una compañía de personas, algunas parejas son enemigas. Un grupo de personas se llama insociable si el número de miembros en el grupo es impar y al menos $3$ , y es posible ubicar a todos sus miembros alrededor de una mesa redonda de manera que cada dos vecinos sean enemigos. Dado que hay a lo sumo $2015$ grupos insociables, pruebe que es posible particionar la compañía en $11$ partes de manera que no haya dos enemigos en la misma parte.

Sea $S$ un conjunto no vacío de enteros positivos. Decimos que un entero positivo $n$ es limpio si tiene una representación única como una suma de un número impar de elementos distintos de $S$ . Pruebe que existen infinitos enteros positivos que no son limpios.

La secuencia $a_1,a_2,\dots$ de enteros satisface las condiciones:\n(i) $1\le a_j\le2015$ para todo $j\ge1$ , \n(ii) $k+a_k\neq \ell+a_\ell$ para todo $1\le k<\ell$ . \nPruebe que existen dos enteros positivos $b$ y $N$ para los cuales \n\[\left\vert\sum_{j=m+1}^n(a_j-b)\right\vert\le1007^2\] \npara todos los enteros $m$ y $n$ tales que $n>m\ge N$ .

Sea $n$ un entero positivo. Dos jugadores $A$ y $B$ juegan un juego en el que toman turnos escogiendo enteros positivos $k \le n$. Las reglas del juego son: \n(i) Un jugador no puede escoger un número que haya sido escogido por cualquier jugador en cualquier turno anterior.\n(ii) Un jugador no puede escoger un número consecutivo a cualquiera de los que el jugador ya ha escogido en cualquier turno anterior.\n(iii) El juego es un empate si todos los números han sido escogidos; de lo contrario, el jugador que no puede escoger un número más pierde el juego. El jugador $A$ toma el primer turno. Determine el resultado del juego, asumiendo que ambos jugadores usan estrategias óptimas.

Para un conjunto finito $A$ de enteros positivos, una partición de $A$ en dos subconjuntos no vacíos disjuntos $A_1$ y $A_2$ es $\textit{buena}$ si el mínimo común múltiplo de los elementos en $A_1$ es igual al máximo común divisor de los elementos en $A_2$. Determine el valor mínimo de $n$ tal que exista un conjunto de $n$ enteros positivos con exactamente $2015$ particiones buenas.