Decimos que un conjunto finito $\mathcal{S}$ de puntos en el plano es equilibrado si, para cualquier par de puntos diferentes $A$ y $B$ en $\mathcal{S}$ , hay un punto $C$ en $\mathcal{S}$ tal que $AC=BC$ . Decimos que $\mathcal{S}$ es libre de centro si para cualquier terna de puntos diferentes $A$ , $B$ y $C$ en $\mathcal{S}$ , no hay puntos $P$ en $\mathcal{S}$ tal que $PA=PB=PC$ . (a) Demuestra que para todo entero $n\ge 3$ , existe un conjunto equilibrado que consta de $n$ puntos. (b) Determina todos los enteros $n\ge 3$ para los cuales existe un conjunto equilibrado libre de centro que consta de $n$ puntos.

En Linelandia hay $n\geq1$ pueblos, dispuestos a lo largo de una carretera que va de izquierda a derecha. Cada pueblo tiene una topadora izquierda (colocada a la izquierda del pueblo y mirando a la izquierda) y una topadora derecha (colocada a la derecha del pueblo y mirando a la derecha). Los tamaños de las $2n$ topadoras son distintos. Cada vez que una topadora izquierda y otra derecha se enfrentan, la topadora más grande empuja a la más pequeña fuera de la carretera. Por otro lado, las topadoras están bastante desprotegidas en su parte trasera; así que, si una topadora alcanza la parte trasera de otra, la primera empuja a la segunda fuera de la carretera, independientemente de sus tamaños. Sean $A$ y $B$ dos pueblos, con $B$ a la derecha de $A$ . Decimos que el pueblo $A$ puede barrer el pueblo $B$ si la topadora derecha de $A$ puede moverse hasta $B$ empujando a todas las topadoras que encuentre. Del mismo modo, el pueblo $B$ puede barrer el pueblo $A$ si la topadora izquierda de $B$ puede moverse hasta $A$ empujando a todas las topadoras de todos los pueblos en su camino. Demuestra que hay exactamente un pueblo que no puede ser barrido por ningún otro.

Sea $n$ un entero fijo con $n \ge 2$ . Decimos que dos polinomios $P$ y $Q$ con coeficientes reales son block-similares si para cada $i \in \{1, 2, \ldots, n\}$ las secuencias \n\begin{eqnarray*}\nP(2015i), P(2015i - 1), \ldots, P(2015i - 2014) & \text{and}\\\nQ(2015i), Q(2015i - 1), \ldots, Q(2015i - 2014)\n\end{eqnarray*}\nson permutaciones entre sí. (a) Demuestra que existen polinomios block-similares distintos de grado $n + 1$ . (b) Demuestra que no existen polinomios block-similares distintos de grado $n$ .

Sea $2\mathbb{Z} + 1$ el conjunto de los enteros impares. Encuentra todas las funciones $f:\mathbb{Z} \mapsto 2\mathbb{Z} + 1$ que satisfacen \[ f(x + f(x) + y) + f(x - f(x) - y) = f(x+y) + f(x-y) \] para todo $x, y \in \mathbb{Z}$ .

Sea $\mathbb R$ el conjunto de los números reales. Determine todas las funciones $f:\mathbb R\to\mathbb R$ que satisfacen la ecuación \[f(x+f(x+y))+f(xy)=x+f(x+y)+yf(x)\] para todos los números reales $x$ e $y$ .

Sea $n$ un entero positivo fijo. Encuentre el valor máximo posible de \[ \sum_{1 \le r < s \le 2n} (s-r-n)x_rx_s, \] donde $-1 \le x_i \le 1$ para todo $i = 1, \cdots , 2n$ .

Determine todas las funciones $f:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}$ con la propiedad de que \[f(x-f(y))=f(f(x))-f(y)-1\] se cumple para todo $x,y\in\mathbb{Z}$ .

Suponga que una secuencia $a_1,a_2,\ldots$ de números reales positivos satisface \[a_{k+1}\geq\frac{ka_k}{a_k^2+(k-1)}\] para cada entero positivo $k$ . Demuestre que $a_1+a_2+\ldots+a_n\geq n$ para cada $n\geq2$ .

Sean $x_1, x_2, \ldots, x_n$ reales positivos; para cualquier entero positivo $k$ , sea $S_k=x_1^k+x_2^k+\ldots+x_n^k$ .\n(a) Dado que $S_1<S_2$ , muestre que $S_1, S_2, S_3, \ldots$ es estrictamente creciente.\n(b) Pruebe que existe un entero positivo $n$ y reales positivos $x_1, x_2, \ldots, x_n$ , tal que $S_1>S_2$ y $S_1, S_2, S_3, \ldots$ no es estrictamente decreciente.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y $D, E, F$ los puntos medios de $BC, CA, AB$ , respectivamente. El círculo con diámetro $AD$ interseca las líneas $AB$ y $AC$ en los puntos $P$ y $Q$ , respectivamente. Las líneas que pasan por $P$ y $Q$ paralelas a $BC$ intersecan $DE$ en el punto $R$ y $DF$ en el punto $S$ , respectivamente. El circuncírculo de $DPR$ interseca $AB$ en $X$ , el circuncírculo de $DQS$ interseca $AC$ en $Y$ , y estos dos círculos se intersecan nuevamente en el punto $Z$ . Pruebe que $Z$ es el punto medio de $XY$ .