Considera una secuencia $\{a_n\}$ de enteros, satisfaciendo $a_1=1, a_2=2$ y $a_{n+1}$ es el divisor primo más grande de $a_1+a_2+\ldots+a_n$ . Encuentra $a_{100}$ .

En un semiplano, limitado por una recta \(r\) , se colocan triángulos equiláteros \(S_1, S_2, \ldots, S_n\) , cada uno con un lado paralelo a \(r\) , y su vértice opuesto es el punto del triángulo más alejado de \(r\) . Para cada triángulo \(S_i\) , sea \(T_i\) su triángulo medial. Sea \(S\) la región cubierta por los triángulos \(S_1, S_2, \ldots, S_n\) , y sea \(T\) la región cubierta por los triángulos \(T_1, T_2, \ldots, T_n\) . Demostrar que \[\text{area}(S) \leq 4 \cdot \text{area}(T).\]

Cuadricular el plano formando un tablero infinito. En cada celda de este tablero, hay una lámpara, inicialmente apagada. Una operación permitida consiste en seleccionar un cuadrado de \(3\times 3\) , \(4\times 4\) , o \(5\times 5\) celdas y cambiar el estado de todas las lámparas en ese cuadrado (las que están apagadas se encienden, y las que están encendidas se apagan).\n(a) Demostrar que para cualquier conjunto finito de lámparas, es posible lograr, mediante una secuencia finita de operaciones permitidas, que esas sean las únicas lámparas encendidas en el tablero.\n(b) Demostrar que si en una secuencia de operaciones permitidas sólo se utilizan dos de los tres tamaños de cuadrado, entonces es imposible lograr que al final las únicas lámparas encendidas en el tablero sean las de un cuadrado de \(2\times 2\).

Una lista de \(n\) enteros positivos \(a_1, a_2,a_3,\ldots,a_n\) se dice que es buena si verifica simultáneamente: \n\(\bullet a_1<a_2<a_3<\cdots<a_n,\) \n\(\bullet a_1+a_2^2+a_3^3+\cdots+a_n^n\le 2023.\) \nPara cada \(n\ge 1\) , determine cuántas listas buenas de \(n\) números existen.

Sea $M$ un subconjunto del conjunto de $2021$ enteros $\{1, 2, 3, ..., 2021\}$ tal que para cualesquiera tres elementos (no necesariamente distintos) $a, b, c$ de $M$ tenemos que $|a + b - c | > 10$ . Determine el número más grande posible de elementos de $M$ .

Sea $ABC$ un triángulo escaleno acutángulo con circuncentro $O$ . Sea $D$ el pie de la altura desde $A$ al lado $BC$ . Las líneas $BC$ y $AO$ se intersecan en $E$ . Sea $s$ la línea que pasa por $E$ perpendicular a $AO$ . La línea $s$ interseca a $AB$ y $AC$ en $K$ y $L$ , respectivamente. Denotamos por $\omega$ la circunferencia circunscrita del triángulo $AKL$ . La línea $AD$ interseca a $\omega$ nuevamente en $X$ . Demuestre que $\omega$ y las circunferencias circunscritas de los triángulos $ABC$ y $DEX$ tienen un punto en común.

Para cualquier conjunto $A = \{x_1, x_2, x_3, x_4, x_5\}$ de cinco enteros positivos distintos, denotamos por $S_A$ la suma de sus elementos, y denotamos por $T_A$ el número de triples $(i, j, k)$ con $1 \le i < j < k \le 5$ para los cuales $x_i + x_j + x_k$ divide a $S_A$ . Encuentre el valor más grande posible de $T_A$ .

Sea $n$ ( $n \ge 1$ ) un entero. Considere la ecuación $2\cdot \lfloor{\frac{1}{2x}}\rfloor - n + 1 = (n + 1)(1 - nx)$ , donde $x$ es la variable real desconocida. (a) Resuelva la ecuación para $n = 8$ . (b) Demuestre que existe un entero $n$ para el cual la ecuación tiene al menos $2021$ soluciones. (Para cualquier número real $y$ , con $\lfloor{y} \rfloor$ denotamos el entero más grande $m$ tal que $m \le y$ . )

Dado un cuadrilátero cíclico $ABCD$ . Puntos $K, L, M, N$ que se encuentran en los lados $AB, BC, CD, DA$ , respectivamente, satisfacen $\angle ADK=\angle BCK$ , $\angle BAL=\angle CDL$ , $\angle CBM =\angle DAM$ , $\angle DCN =\angle ABN$ . Prueba que las líneas $KM$ y $LN$ son perpendiculares.

Sea $A_1A_2 ...A_{360}$ un $360$ -gono regular con centro $S$ . Para cada uno de los triángulos $A_1A_{50}A_{68}$ y $A_1A_{50}A_{69}$ determina, si sus imágenes bajo algunas $120$ rotaciones con centro $S$ pueden tener (como triángulos) todos los $360$ puntos $A_1, A_2, ..., A_{360}$ como vértices.