Determina todos los valores posibles de la expresión $xy+yz+zx$ con números reales $x, y, z$ que satisfacen las condiciones $x^2-yz = y^2-zx = z^2-xy = 2$ .

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo con diagonales perpendiculares, tal que $\angle BAC = \angle ADB$ , $\angle CBD = \angle DCA$ , $AB = 15$ , $CD = 8$ . Demuestra que $ABCD$ es cíclico y encuentra la distancia entre su circuncentro y el punto de intersección de sus diagonales.

La pieza de ajedrez torre enferma puede moverse a lo largo de filas y columnas como una torre regular, pero a lo sumo por $2$ campos. Podemos colocar torres enfermas en un tablero cuadrado de tal manera que ninguna de ellas se ataque entre sí y ningún campo sea atacado por más de una torre enferma . a) Prueba que en un tablero de $30\times 30$, no podemos colocar más de $100$ torres enfermas . b) Encuentra el número máximo de torres enfermas que se pueden colocar en un tablero de $8\times 8$. c) Prueba que en un tablero de $32\times 32$, no podemos colocar más de $120$ torres enfermas .

Números racionales $a, b$ son tales que $a+b$ y $a^2+b^2$ son enteros. Prueba que $a, b$ son enteros.

Dado un grupo en el que cada persona tiene exactamente $d$ amigos y cada dos extraños tienen exactamente un amigo en común. Prueba que hay a lo sumo $d^2 + 1$ personas en este grupo.

Sea $k$ un círculo con diámetro $AB$ . Se elige un punto $C$ dentro del segmento $AB$ y se elige un punto $D$ en $k$ tal que $BCD$ es un triángulo acutángulo, con circuncentro denotado por $O$ . Sea $E$ la intersección del círculo $k$ y la línea $BO$ (diferente de $B$ ) . Demuestra que los triángulos $BCD$ y $ECA$ son similares.

Determina todos los enteros positivos $n$ tales que es posible llenar la tabla de $n \times n$ con números $1, 2$ y $-3$ de manera que la suma de los números en cada fila y cada columna sea $0$ .

Sea $ABC$ un triángulo con centroide $T$ . Denotemos por $M$ el punto medio de $BC$ . Sea $D$ un punto en el rayo opuesto al rayo $BA$ tal que $AB = BD$ . Similarmente, sea $E$ un punto en el rayo opuesto al rayo $CA$ tal que $AC = CE$ . Los segmentos $T D$ y $T E$ intersectan el lado $BC$ en $P$ y $Q$ , respectivamente. Demuestra que los puntos $P, Q$ y $M$ dividen el segmento $BC$ en cuatro partes de igual longitud.

Encuentra todos los pares de enteros positivos $a, b$ tales que $\sqrt{a+2\sqrt{b}}=\sqrt{a-2\sqrt{b}}+\sqrt{b}$ .

Demuestre que para cada primo $p>100$ y cada entero $r$ , existen dos enteros $a$ y $b$ tales que $p$ divide a $a^2+b^5-r$ .