Encuentre todos los enteros positivos $n$ para los cuales existen enteros no negativos $a_1, a_2, \ldots, a_n$ tales que \n$$\n\frac{1}{2^{a_1}} + \frac{1}{2^{a_2}} + \cdots + \frac{1}{2^{a_n}} = \n\frac{1}{3^{a_1}} + \frac{2}{3^{a_2}} + \cdots + \frac{n}{3^{a_n}} = 1.\n$$\n

Sean $x$ e $y$ enteros positivos. Si ${x^{2^n}}-1$ es divisible por $2^ny+1$ para cada entero positivo $n$ , demuestre que $x=1$ .

Para un entero no negativo $n$ defina $\operatorname{rad}(n)=1$ si $n=0$ o $n=1$ , y $\operatorname{rad}(n)=p_1p_2\cdots p_k$ donde $p_1<p_2<\cdots <p_k$ son todos los factores primos de $n$ . Encuentre todos los polinomios $f(x)$ con coeficientes enteros no negativos tales que $\operatorname{rad}(f(n))$ divide a $\operatorname{rad}(f(n^{\operatorname{rad}(n)}))$ para cada entero no negativo $n$ .

Un entero $a$ se dice amigable si la ecuación $(m^2+n)(n^2+m)=a(m-n)^3$ tiene una solución sobre los enteros positivos.\na) Demuestre que hay al menos $500$ enteros amigables en el conjunto $\{ 1,2,\ldots ,2012\}$ .\nb) Decida si $a=2$ es amigable.

Determine todos los enteros $m \geq 2$ tales que cada $n$ con $\frac{m}{3} \leq n \leq \frac{m}{2}$ divide al coeficiente binomial $\binom{n}{m-2n}$ .

Encuentre todas las ternas $(x,y,z)$ de enteros positivos tales que $x \leq y \leq z$ y \[x^3(y^3+z^3)=2012(xyz+2).\]

Sea admisible un conjunto $A$ de enteros que tiene la siguiente propiedad: Si $x,y \in A$ (posiblemente $x=y$ ) entonces $x^2+kxy+y^2 \in A$ para cada entero $k$ . Determine todos los pares $m,n$ de enteros no nulos tales que el único conjunto admisible que contiene tanto a $m$ como a $n$ es el conjunto de todos los enteros.

Sea $ABC$ un triángulo con circuncírculo $\omega$ y $\ell$ una línea sin puntos en común con $\omega$. Denotemos por $P$ el pie de la perpendicular desde el centro de $\omega$ a $\ell$. Las líneas de los lados $BC,CA,AB$ intersecan a $\ell$ en los puntos $X,Y,Z$ diferentes de $P$. Demuestre que los circuncírculos de los triángulos $AXP$, $BYP$ y $CZP$ tienen un punto en común diferente de $P$ o son mutuamente tangentes en $P$.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo con lados no paralelos $BC$ y $AD$. Asuma que hay un punto $E$ en el lado $BC$ tal que los cuadriláteros $ABED$ y $AECD$ son circunscritos. Demuestre que hay un punto $F$ en el lado $AD$ tal que los cuadriláteros $ABCF$ y $BCDF$ son circunscritos si y sólo si $AB$ es paralelo a $CD$.

Sea $ABC$ un triángulo con circuncentro $O$ e incentro $I$. Los puntos $D,E$ y $F$ en los lados $BC,CA$ y $AB$ respectivamente son tales que $BD+BF=CA$ y $CD+CE=AB$. Las circunferencias circunscritas de los triángulos $BFD$ y $CDE$ se intersecan en $P \neq D$. Demuestre que $OP=OI$.