Sea $ABC$ un triángulo con $\angle BCA=90^{\circ}$, y sea $D$ el pie de la altura desde $C$. Sea $X$ un punto en el interior del segmento $CD$. Sea $K$ el punto en el segmento $AX$ tal que $BK=BC$. Similarmente, sea $L$ el punto en el segmento $BX$ tal que $AL=AC$. Sea $M$ el punto de intersección de $AL$ y $BK$. Muestre que $MK=ML$.

Sea $ABC$ un triángulo con $AB \neq AC$ y circuncentro $O$. La bisectriz de $\angle BAC$ interseca a $BC$ en $D$. Sea $E$ la reflexión de $D$ con respecto al punto medio de $BC$. Las líneas que pasan por $D$ y $E$ perpendiculares a $BC$ intersecan las líneas $AO$ y $AD$ en $X$ e $Y$ respectivamente. Demuestre que el cuadrilátero $BXCY$ es cíclico.

En un triángulo acutángulo $ABC$, los puntos $D,E$ y $F$ son los pies de las alturas que pasan por $A,B$ y $C$ respectivamente. Los incentros de los triángulos $AEF$ y $BDF$ son $I_1$ e $I_2$ respectivamente; los circuncentros de los triángulos $ACI_1$ y $BCI_2$ son $O_1$ y $O_2$ respectivamente. Demuestra que $I_1I_2$ y $O_1O_2$ son paralelos.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico cuyas diagonales $AC$ y $BD$ se encuentran en $E$. Las extensiones de los lados $AD$ y $BC$ más allá de $A$ y $B$ se encuentran en $F$. Sea $G$ el punto tal que $ECGD$ es un paralelogramo, y sea $H$ la imagen de $E$ bajo la reflexión en $AD$. Demuestra que $D,H,F,G$ son concíclicos.

Dado un triángulo $ABC$, el punto $J$ es el centro del excírculo opuesto al vértice $A$. Este excírculo es tangente al lado $BC$ en $M$ , y a las líneas $AB$ y $AC$ en $K$ y $L$ , respectivamente. Las líneas $LM$ y $BJ$ se encuentran en $F$ , y las líneas $KM$ y $CJ$ se encuentran en $G$. Sea $S$ el punto de intersección de las líneas $AF$ y $BC$ , y sea $T$ el punto de intersección de las líneas $AG$ y $BC$. Demuestra que $M$ es el punto medio de $ST$. (El excírculo de $ABC$ opuesto al vértice $A$ es el círculo que es tangente al segmento de línea $BC$ , al rayo $AB$ más allá de $B$ , y al rayo $AC$ más allá de $C$ .)

Hay dados $2^{500}$ puntos en un círculo etiquetados $1,2,\ldots ,2^{500}$ en algún orden. Demuestra que se pueden elegir $100$ cuerdas disjuntas por pares que unan algunos de estos puntos de manera que las $100$ sumas de los pares de números en los extremos de la cuerda elegida sean iguales.

El juego de adivinanzas del mentiroso es un juego que se juega entre dos jugadores $A$ y $B$ . Las reglas del juego dependen de dos enteros positivos $k$ y $n$ que son conocidos por ambos jugadores. Al comienzo del juego, $A$ elige enteros $x$ y $N$ con $1 \le x \le N.$ El jugador $A$ mantiene $x$ en secreto y le dice honestamente $N$ al jugador $B$ . El jugador $B$ ahora intenta obtener información sobre $x$ haciendo preguntas al jugador $A$ de la siguiente manera: cada pregunta consiste en que $B$ especifique un conjunto arbitrario $S$ de enteros positivos (posiblemente uno especificado en alguna pregunta anterior) y le pregunte a $A$ si $x$ pertenece a $S$ . El jugador $B$ puede hacer tantas preguntas como desee. Después de cada pregunta, el jugador $A$ debe responderla inmediatamente con sí o no , pero se le permite mentir tantas veces como quiera; la única restricción es que, entre cada $k+1$ respuestas consecutivas, al menos una respuesta debe ser veraz. Después de que $B$ haya hecho tantas preguntas como desee, debe especificar un conjunto $X$ de a lo sumo $n$ enteros positivos. Si $x$ pertenece a $X$ , entonces $B$ gana; de lo contrario, pierde. Demuestre que:\n1. Si $n \ge 2^k,$ entonces $B$ puede garantizar una victoria.\n2. Para todo $k$ suficientemente grande, existe un entero $n \ge (1.99)^k$ tal que $B$ no puede garantizar una victoria.

Las columnas y las filas de un tablero cuadrado de $3n \times 3n$ están numeradas $1,2,\ldots ,3n$ . Cada cuadrado $(x,y)$ con $1 \leq x,y \leq 3n$ está coloreado de color espárrago, bizantino o citrino según el resto módulo $3$ de $x+y$ sea $0,1$ o $2$ respectivamente. Se coloca una ficha coloreada de espárrago, bizantino o citrino en cada cuadrado, de modo que haya $3n^2$ fichas de cada color. Suponga que se pueden permutar las fichas de modo que cada ficha se mueva a una distancia de a lo sumo $d$ de su posición original, cada ficha de espárrago reemplaza una ficha bizantina, cada ficha bizantina reemplaza una ficha citrina, y cada ficha citrina reemplaza una ficha de espárrago. Demuestre que es posible permutar las fichas de modo que cada ficha se mueva a una distancia de a lo sumo $d+2$ de su posición original, y cada cuadrado contiene una ficha con el mismo color que el cuadrado.

Los jugadores $A$ y $B$ juegan un juego con $N \geq 2012$ monedas y $2012$ cajas dispuestas alrededor de un círculo. Inicialmente $A$ distribuye las monedas entre las cajas de modo que haya al menos $1$ moneda en cada caja. Luego, los dos hacen movimientos en el orden $B,A,B,A,\ldots $ según las siguientes reglas:\n(a) En cada movimiento suyo, $B$ pasa $1$ moneda de cada caja a una caja adyacente.\n(b) En cada movimiento suyo, $A$ elige varias monedas que no estuvieron involucradas en el movimiento anterior de $B$ y están en diferentes cajas. Ella pasa cada moneda a una caja adyacente.\nEl objetivo de la jugadora $A$ es asegurar al menos $1$ moneda en cada caja después de cada movimiento suyo, independientemente de cómo juegue $B$ y cuántos movimientos se hagan. Encuentre el menor $N$ que le permita tener éxito.

En una tabla cuadrada de $999 \times 999$ algunas celdas son blancas y las restantes son rojas. Sea $T$ el número de triples $(C_1,C_2,C_3)$ de celdas, las dos primeras en la misma fila y las dos últimas en la misma columna, con $C_1,C_3$ blancas y $C_2$ roja. Encuentre el valor máximo que $T$ puede alcanzar.