Sea $n \geq 1$ un entero. ¿Cuál es el número máximo de pares disjuntos de elementos del conjunto $\{ 1,2,\ldots , n \}$ tal que las sumas de los diferentes pares son enteros diferentes que no exceden $n$?

Varios enteros positivos están escritos en una fila. Iterativamente, Alicia elige dos números adyacentes $x$ e $y$ tales que $x>y$ y $x$ está a la izquierda de $y$ , y reemplaza el par $(x,y)$ por $(y+1,x)$ o $(x-1,x)$ . Demuestra que solo puede realizar un número finito de tales iteraciones.

Decimos que una función $f:\mathbb{R}^k \rightarrow \mathbb{R}$ es un metapolinomio si, para algunos enteros positivos $m$ y $n$ , puede representarse en la forma\n\[f(x_1,\cdots , x_k )=\max_{i=1,\cdots , m} \min_{j=1,\cdots , n}P_{i,j}(x_1,\cdots , x_k),\]\ndonde $P_{i,j}$ son polinomios multivariados. Demuestra que el producto de dos metapolinomios es también un metapolinomio.

Sea $f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ una función, y sea $f^m$ la función $f$ aplicada $m$ veces. Suponga que para todo $n \in \mathbb{N}$ existe un $k \in \mathbb{N}$ tal que $f^{2k}(n)=n+k$ , y sea $k_n$ el menor de tales $k$ . Demuestra que la secuencia $k_1,k_2,\ldots $ no está acotada.

Encuentra todas las funciones $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ que satisfacen las condiciones\n\[f(1+xy)-f(x+y)=f(x)f(y) \quad \text{para toda } x,y \in \mathbb{R},\]\ny $f(-1) \neq 0$ .

Sean $f$ y $g$ dos polinomios no nulos con coeficientes enteros y $\deg f>\deg g$ . Suponga que para infinitos primos $p$ el polinomio $pf+g$ tiene una raíz racional. Demuestra que $f$ tiene una raíz racional.

Sea $n\ge 3$ un entero, y sean $a_2,a_3,\ldots ,a_n$ números reales positivos tales que $a_{2}a_{3}\cdots a_{n}=1$ . Demuestra que \[(1 + a_2)^2 (1 + a_3)^3 \dotsm (1 + a_n)^n > n^n.\]

Sean $\mathbb{Z}$ y $\mathbb{Q}$ los conjuntos de enteros y racionales respectivamente. a) ¿Existe una partición de $\mathbb{Z}$ en tres subconjuntos no vacíos $A,B,C$ tales que los conjuntos $A+B, B+C, C+A$ son disjuntos? b) ¿Existe una partición de $\mathbb{Q}$ en tres subconjuntos no vacíos $A,B,C$ tales que los conjuntos $A+B, B+C, C+A$ son disjuntos? Aquí $X+Y$ denota el conjunto $\{ x+y : x \in X, y \in Y \}$ , para $X,Y \subseteq \mathbb{Z}$ y para $X,Y \subseteq \mathbb{Q}$ .

Encuentra todas las funciones $f:\mathbb Z\rightarrow \mathbb Z$ tales que, para todos los enteros $a,b,c$ que satisfacen $a+b+c=0$ , la siguiente igualdad se cumple: \[f(a)^2+f(b)^2+f(c)^2=2f(a)f(b)+2f(b)f(c)+2f(c)f(a).\] (Aquí $\mathbb{Z}$ denota el conjunto de los enteros.)

Sea $k$ un entero positivo dado. Encuentre todas las ternas de enteros positivos $a, b, c$ , tales que $a + b + c = 3k + 1$ , $ab + bc + ca = 3k^2 + 2k$ .