Sea $ABC$ un triángulo con $AB : AC : BC =5:5:6$ . Denotemos por $M$ el punto medio de $BC$ y por $N$ el punto en el segmento $BC$ tal que $BN = 5 \cdot CN$ . Demuestre que el circuncentro del triángulo $ABN$ es el punto medio del segmento que conecta los incentros de los triángulos $ABC$ y $ABM$ .

Varias baldosas congruentes a la que se muestra en la imagen a continuación deben encajar dentro de una tabla cuadrada de $11 \times 11$ , con cada baldosa cubriendo $6$ cuadrados unitarios enteros, sin sobresalir del cuadrado y sin superponerse. (a) Determine el mayor número de baldosas que se pueden colocar de esta manera. (b) Encuentre, con una prueba, todos los cuadrados unitarios que deben cubrirse en cualquier teselado con el número máximo de baldosas.

En un plano se dibujan varias líneas rectas de tal manera que cada una de ellas interseca exactamente a $15$ otras líneas. ¿Cuántas líneas se dibujan en el plano? Encuentre todas las posibilidades y justifique su respuesta.

Encuentre el entero más grande $d$ que divide a los tres números $abc, bca$ y $cab$ con $a, b$ y $c$ siendo algunos dígitos distintos de cero y mutuamente diferentes.

Sea $ABC$ un triángulo rectángulo con hipotenusa $AB$ . Denotemos por $D$ el pie de la altura desde $C$ . Sean $Q, R$ , y $P$ los puntos medios de los segmentos $AD, BD$ , y $CD$ , respectivamente. Demuestre que $\angle AP B + \angle QCR = 180^o$ .

Determine el entero más pequeño $j$ tal que sea posible llenar los campos de la tabla $10\times 10$ con números del $1$ al $100$ de modo que cada $10$ números consecutivos se encuentren en algunos de los cuadrados $j\times j$ de la tabla.

Se nos da un triángulo acutángulo $ABC$ con $AB < AC < BC$ . Los puntos $K$ y $L$ se eligen en los segmentos $AC$ y $BC$ , respectivamente, de modo que $AB = CK = CL$ . Las bisectrices perpendiculares de los segmentos $AK$ y $BL$ se intersecan con la línea $AB$ en los puntos $P$ y $Q$ , respectivamente. Los segmentos $KP$ y $LQ$ se intersecan en el punto $M$ . Demuestre que $AK + KM = BL + LM$ .

Encuentre todos los enteros $n \ge 3$ con la siguiente propiedad: es posible asignar enteros positivos distintos por pares a los vértices de un prisma $n$ - gonal de tal manera que los vértices con etiquetas $a$ y $b$ estén conectados por una arista si y sólo si $a | b$ o $b | a$ .

Sean $x$ e $y$ números reales tales que $x^2 + y^2 - 1 < xy$ . Demuestre que $x + y - |x - y| < 2$ .

Sea $AB$ un segmento dado y $M$ su punto medio. Consideramos el conjunto de triángulos rectángulos $ABC$ con hipotenusas $AB$ . Denotemos por $D$ el pie de la altura desde $C$ . Sean $K$ y $L$ los pies de las perpendiculares desde $D$ a los catetos $BC$ y $AC$ , respectivamente. Determine el área máxima posible del cuadrilátero $MKCL$ .