Determine todos los enteros positivos $n\geq 2$ que satisfacen la siguiente condición: para todo $a$ y $b$ primos relativos con $n$ tenemos \[a \equiv b \pmod n\qquad\text{si y solo si}\qquad ab\equiv 1 \pmod n.\]

Sean $AH_1, BH_2, CH_3$ las alturas de un triángulo acutángulo $ABC$. Su incírculo toca los lados $BC, AC$ y $AB$ en $T_1, T_2$ y $T_3$ respectivamente. Considere las imágenes simétricas de las líneas $H_1H_2, H_2H_3$ y $H_3H_1$ con respecto a las líneas $T_1T_2, T_2T_3$ y $T_3T_1$. Pruebe que estas imágenes forman un triángulo cuyos vértices se encuentran en el incírculo de $ABC$.

Diez gánsteres están de pie sobre una superficie plana, y las distancias entre ellos son todas distintas. A las doce en punto, cuando las campanas de la iglesia comienzan a sonar, cada uno de ellos dispara fatalmente al más cercano entre los otros nueve gánsteres. ¿Al menos cuántos gánsteres serán asesinados?

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo. Las mediatrices de sus lados $AB$ y $CD$ se intersecan en $Y$. Denotemos por $X$ un punto dentro del cuadrilátero $ABCD$ tal que $ \measuredangle ADX = \measuredangle BCX < 90^{\circ}$ y $ \measuredangle DAX = \measuredangle CBX < 90^{\circ}$ . Demuestra que $ \measuredangle AYB = 2\cdot\measuredangle ADX$.

Las tangentes en $B$ y $A$ a la circunferencia circunscrita de un triángulo acutángulo $ABC$ se encuentran con la tangente en $C$ en $T$ y $U$ respectivamente. $AT$ se encuentra con $BC$ en $P$, y $Q$ es el punto medio de $AP$; $BU$ se encuentra con $CA$ en $R$, y $S$ es el punto medio de $BR$. Pruebe que $\angle ABQ=\angle BAS$. Determine, en términos de razones de las longitudes de los lados, los triángulos para los cuales este ángulo es máximo.

En el plano se dan dos circunferencias que se intersecan en $ X$ e $ Y$ . Demuestre que existen cuatro puntos con la siguiente propiedad: (P) Para cada circunferencia que toca las dos circunferencias dadas en $ A$ y $ B$ , y se encuentra con la línea $ XY$ en $ C$ y $ D$ , cada una de las líneas $ AC$ , $ AD$ , $ BC$ , $ BD$ pasa por uno de estos puntos.

Para un polinomio $ P$ de grado 2000 con coeficientes reales distintos, sea $ M(P)$ el conjunto de todos los polinomios que pueden ser producidos a partir de $ P$ por permutación de sus coeficientes. Un polinomio $ P$ se llamará $ n$ - independiente si $ P(n) = 0$ y podemos obtener de cualquier $ Q \in M(P)$ un polinomio $ Q_1$ tal que $ Q_1(n) = 0$ intercambiando a lo sumo un par de coeficientes de $ Q.$ Encuentre todos los enteros $ n$ para los cuales existen polinomios $ n$ - independientes.

Un conjunto no vacío $ A$ de números reales se llama un conjunto $ B_3$ si las condiciones $ a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6 \in A$ y $ a_1 + a_2 + a_3 = a_4 + a_5 + a_6$ implican que las sucesiones $ (a_1, a_2, a_3)$ y $ (a_4, a_5, a_6)$ son idénticas salvo una permutación. Sean $A = \{a_0 = 0 < a_1 < a_2 < \cdots \}$ , $B = \{b_0 = 0 < b_1 < b_2 < \cdots \}$ sucesiones infinitas de números reales con $ D(A) = D(B),$ donde, para un conjunto $ X$ de números reales, $ D(X)$ denota el conjunto diferencia $ \{|x-y|\mid x, y \in X \}.$ Demuestre que si $ A$ es un conjunto $ B_3$ , entonces $ A = B.$

Sea $ n \geq 2$ un entero positivo y $ \lambda$ un número real positivo. Inicialmente hay $ n$ pulgas en una línea horizontal, no todas en el mismo punto. Definimos un movimiento como elegir dos pulgas en algunos puntos $ A$ y $ B$ , con $ A$ a la izquierda de $ B$ , y dejar que la pulga de $ A$ salte sobre la pulga de $ B$ al punto $ C$ de modo que $ \frac {BC}{AB} = \lambda$ . Determine todos los valores de $ \lambda$ tales que, para cualquier punto $ M$ en la línea y para cualquier posición inicial de las $ n$ pulgas, existe una secuencia de movimientos que las lleve a la posición a la derecha de $ M$ .

Sean $ n$ y $ k$ enteros positivos tales que $ \frac{1}{2} n < k \leq \frac{2}{3} n.$ Hallar el menor número $ m$ para el cual es posible colocar $ m$ peones en $ m$ casillas de un tablero de ajedrez de $ n \times n$ de manera que ninguna columna o fila contenga un bloque de $ k$ casillas adyacentes desocupadas.