Sea $ n \geq 4$ un entero positivo fijo. Dado un conjunto $ S = \{P_1, P_2, \ldots, P_n\}$ de $ n$ puntos en el plano tales que no hay tres colineales y no hay cuatro concíclicos, sea $ a_t,$ $ 1 \leq t \leq n,$ el número de círculos $ P_iP_jP_k$ que contienen a $ P_t$ en su interior, y sea \[m(S)=a_1+a_2+\cdots + a_n.\] Demostrar que existe un entero positivo $ f(n),$ que depende sólo de $ n,$ tal que los puntos de $ S$ son los vértices de un polígono convexo si y sólo si $ m(S) = f(n).$

Una escalera de ladrillo con 3 escalones de ancho 2 está hecha de 12 cubos unitarios. Determinar todos los enteros $ n$ para los cuales es posible construir un cubo de lado $ n$ usando tales ladrillos.

Un mago tiene cien cartas numeradas del 1 al 100. Las coloca en tres cajas, una roja, una blanca y una azul, de modo que cada caja contiene al menos una carta. Un miembro del público extrae dos cartas de dos cajas diferentes y anuncia la suma de los números de esas cartas. Dada esta información, el mago localiza la caja de la que no se ha extraído ninguna carta. ¿De cuántas maneras se pueden colocar las cartas en las tres cajas para que el truco funcione?

Sean $m$, $n$ enteros positivos. En un tablero de ajedrez de $m\times{n}$, dividido en cuadrados de $1\times1$, consideramos todos los caminos que van desde el vértice superior derecho al vértice inferior izquierdo, viajando exclusivamente en las líneas de la cuadrícula yendo hacia abajo o hacia la izquierda. Definimos el área de un camino como el número de cuadrados en el tablero de ajedrez que están por debajo de este camino. Sea $p$ un primo tal que $r_{p}(m)+r_{p}(n)\geq{p}$, donde $r_{p}(m)$ denota el residuo cuando $m$ es dividido por $p$ y $r_{p}(n)$ denota el residuo cuando $n$ es dividido por $p$. ¿Cuántos caminos tienen un área que es múltiplo de $p$?

Usando triángulos equiláteros de cartulina de lado $1$, se forma un triángulo equilátero de lado $2^{2004}$. Se remueve un triángulo equilátero de lado $1$ cuyo centro coincide con el centro del triángulo grande. Determina si es posible cubrir completamente la superficie restante, sin superposiciones ni agujeros, usando sólo piezas en forma de trapecio isósceles, cada uno de los cuales se crea uniendo tres triángulos equiláteros de lado $1$.

Arnaldo selecciona un entero no negativo $a$ y Bernaldo selecciona un entero no negativo $b$. Ambos le dicen secretamente su número a Cernaldo, quien escribe los números $5$, $8$ y $15$ en la pizarra, siendo uno de ellos la suma $a+b$. Cernaldo toca una campana y Arnaldo y Bernaldo, individualmente, escriben en diferentes hojas de papel si saben o no cuál de los números en la pizarra es la suma $a+b$ y se las entregan a Cernaldo. Si ambos papeles dicen NO, Cernaldo toca la campana de nuevo y el proceso se repite. Se sabe que tanto Arnaldo como Bernaldo son honestos e inteligentes. ¿Cuál es el número máximo de veces que la campana puede ser tocada hasta que uno de ellos sepa la suma?

Sea $n$ un entero positivo. Llamamos $C_n$ al número de enteros positivos $x$ menores que $10^n$ tales que la suma de los dígitos de $2x$ es menor que la suma de los dígitos de $x$. Demuestra que $C_n\geq\frac{4}{9}(10^{n}-1)$.

Dado un círculo $C$ y un punto $P$ en su exterior, se dibujan dos tangentes al círculo que pasan por $P$, siendo $A$ y $B$ los puntos de tangencia. Tomamos un punto $Q$ en el arco menor $AB$ de $C$. Sea $M$ la intersección de $AQ$ con la línea perpendicular a $AQ$ que pasa por $P$, y sea $N$ la intersección de $BQ$ con la línea perpendicular a $BQ$ que pasa por $P$. Demuestra que, al variar $Q$ en el arco menor $AB$, todas las líneas $MN$ pasan por el mismo punto.

Maxi eligió $3$ dígitos, y al escribir todas las permutaciones posibles de estos dígitos, obtuvo $6$ números distintos de $3$ dígitos. Si exactamente uno de esos números es un cuadrado perfecto y exactamente tres de ellos son primos, encuentra los $3$ dígitos de Maxi. Da todas las posibilidades para los $3$ dígitos.

Para un conjunto finito $ X$ de enteros positivos, sea $ \Sigma(X) = \sum_{x \in X} \arctan \frac{1}{x}.$ Dado un conjunto finito $ S$ de enteros positivos para el cual $ \Sigma(S) < \frac{\pi}{2},$ demuestra que existe al menos un conjunto finito $ T$ de enteros positivos para el cual $ S \subset T$ y $ \Sigma(S) = \frac{\pi}{2}.$