Dados cuatro puntos $ A_1, A_2, A_3, A_4$ en el plano, no tres colineales, tal que \[ A_1A_2 \cdot A_3 A_4 = A_1 A_3 \cdot A_2 A_4 = A_1 A_4 \cdot A_2 A_3, \] denotar por $ O_i$ el circuncentro de $ \triangle A_j A_k A_l$ con $ \{i,j,k,l\} = \{1,2,3,4\}.$ Asumiendo $ \forall i A_i \neq O_i ,$ demuestra que las cuatro líneas $ A_iO_i$ son concurrentes o paralelas.

Un conjunto $ S$ de puntos en el espacio satisface la propiedad de que todas las distancias por pares entre puntos en $ S$ son distintas. Dado que todos los puntos en $ S$ tienen coordenadas enteras $ (x,y,z)$ donde $ 1 \leq x,y, z \leq n,$ demuestra que el número de puntos en $ S$ es menor que $ \min \Big((n + 2)\sqrt {\frac {n}{3}}, n \sqrt {6}\Big).$

Para $ a_i \in \mathbb{Z}^ +$ , $ i = 1, \ldots, k$ , y $ n = \sum^k_{i = 1} a_i$ , sea $ d = \gcd(a_1, \ldots, a_k)$ denotar el máximo común divisor de $ a_1, \ldots, a_k$ . Demuestra que $ \frac {d} {n} \cdot \frac {n!}{\prod\limits^k_{i = 1} (a_i!)}$ es un entero.

Un grupo de matemáticos asiste a una conferencia. Decimos que un matemático está $k-$contento si está en una sala con al menos $k$ personas que admira o si es admirado por al menos $k$ otras personas en la sala. Se sabe que cuando todos los participantes están en la misma sala, entonces todos están al menos $3k + 1$ - contentos. Demuestra que puedes asignar a todos a una de $2$ salas de manera que todos estén al menos $k$ - contentos en su sala y ninguna de las salas esté vacía. La admiración no es necesariamente mutua y nadie se admira a sí mismo.

Los círculos $k_1$ y $k_2$ se intersecan en los puntos $A$ y $B$, tales que $k_1$ pasa por el centro $O$ del círculo $k_2$. La línea $p$ interseca a $k_1$ en los puntos $K$ y $O$ y a $k_2$ en los puntos $L$ y $M$, tal que el punto $L$ está entre $K$ y $O$. El punto $P$ es la proyección ortogonal del punto $L$ a la línea $AB$. Demuestra que la línea $KP$ es paralela a la $M-$mediana del triángulo $ABM$.

Sean $a,b,c$ números reales positivos tales que $abc=1$. Demuestra que $$\frac{a+b+c+3}{4}\geqslant \frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}.$$

$A = \{a, b, c\}$ es un conjunto que contiene tres enteros positivos. Demuestra que podemos encontrar un conjunto $B \subset A$ , $B = \{x, y\}$ tal que para todos los enteros positivos impares $m, n$ tenemos $$10\mid x^my^n-x^ny^m.$$

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo. Sean $B' , A'$ puntos en las mediatrices de $AC, BC$ respectivamente tales que $B'A \perp AB$ y $A'B \perp AB$. Sea $P$ un punto en el segmento $AB$ y $O$ el circuncentro del triángulo $ABC$. Sean $D, E$ puntos en $BC, AC$ respectivamente tales que $DP \perp BO$ y $EP \perp AO$. Sea $O'$ el circuncentro del triángulo $CDE$. Demuestra que $B', A'$ y $O'$ son colineales.

Sea $d(n)$ denote el número de divisores positivos de $n$. Para un entero positivo $n$ definimos $f(n)$ como $$f(n) = d\left(k_1\right) + d\left(k_2\right)+ \cdots + d\left(k_m\right),$$ donde $1 = k_1 < k_2 < \cdots < k_m = n$ son todos los divisores del número $n$. Llamamos a un entero $n > 1$ casi perfecto si $f(n) = n$. Encuentra todos los números casi perfectos.

Sean $m, n, p$ números reales positivos fijos que satisfacen $mnp = 8$. Dependiendo de estas constantes, encuentre el mínimo de $$x^2+y^2+z^2+ mxy + nxz + pyz,$$ donde $x, y, z$ son números reales positivos arbitrarios que satisfacen $xyz = 8$. ¿Cuándo se alcanza la igualdad? Resuelva el problema para: $m = n = p = 2,$ números reales positivos arbitrarios (pero fijos) $m, n, p.$