Se nos da un tablero de $n \times n$. Las filas están etiquetadas con los números del $1$ al $n$ hacia abajo y las columnas están etiquetadas con los números del $1$ al $n$ de izquierda a derecha. En cada campo escribimos el número $x^2 + y^2$ donde $(x, y)$ son sus coordenadas. Se nos da una figura y podemos colocarla inicialmente en cualquier campo. En cada paso podemos mover la figura de un campo a otro si el otro campo no ha sido visitado y si al menos una de las siguientes condiciones se cumple: los números en esos $2$ campos dan los mismos restos cuando se dividen por $n$, esos campos son simétricos con respecto al centro del tablero. ¿Se pueden visitar todos los campos en el caso: $n = 4$, $n = 5$?

Llamamos a un entero positivo $n\ge 4$ hermoso si existe alguna permutación $$\{x_1,x_2,\dots ,x_{n-1}\}$$ de $\{1,2,\dots ,n-1\}$ tal que $\{x^1_1,\ x^2_2,\ \dots,x^{n-1}_{n-1}\}$ da todos los residuos $\{1,2,\dots, n-1\}$ módulo $n$ . Demuestre que si $n$ es hermoso entonces $n=2p,$ para algún número primo $p.$

Encuentre todas las funciones $f: \mathbb{Z^+} \to \mathbb{Z^+}$ tales que para todos los enteros $a, b, c$ tenemos $$ af(bc)+bf(ac)+cf(ab)=(a+b+c)f(ab+bc+ac).$$ Nota. El conjunto $\mathbb{Z^+}$ se refiere al conjunto de enteros positivos.

Dados enteros positivos $a,b,$ encuentre el entero positivo más pequeño $m$ tal que entre cualquier $m$ enteros distintos en el intervalo $[-a,b]$ haya tres números distintos por pares que su suma sea cero.

$Abdulqodir$ recortó $2024$ $n-$ g ons regulares congruentes de una hoja de papel y colocó estos $n-$ g ons sobre la mesa de tal manera que algunas partes de cada uno de estos $n-$ g ons pueden estar cubiertas por otros. Decimos que un vértice de uno de los $n-$ g ons antes mencionados es $visible$ si no está en el interior de otro $n-$ g on que se coloca encima. Para cualquier $n>2$ determine el mínimo número posible de vértices visibles.

Encuentre todos los enteros positivos $(r,s)$ tales que exista una secuencia no constante $a_n$ de enteros positivos tal que para todo $n=1,2,\dots$ \[ a_{n+2}= \left(1+\frac{{a_2}^r}{{a_1}^s} \right ) \left(1+\frac{{a_3}^r}{{a_2}^s} \right ) \dots \left(1+\frac{{a_{n+1}}^r}{{a_n}^s} \right ).\]

Sea $ABC$ un triángulo con $AB<AC$ y incentro $I.$ Un punto $D$ se encuentra en el segmento $AC$ tal que $AB=AD,$ y la línea $BI$ interseca a $AC$ en $E.$ Suponga que la línea $CI$ interseca a $BD$ en $F,$ y $G$ se encuentra en el segmento $DI$ tal que $FD=FG.$ Demuestre que las líneas $AG$ y $EF$ se intersecan en la circunferencia circunscrita del triángulo $CEI.$

Un collar contiene 2024 perlas, cada una de ellas con uno de los siguientes colores: negro, verde y amarillo. En cada momento, cambiaremos cada una de las perlas simultáneamente a una nueva siguiendo las siguientes reglas: i) Si sus dos vecinos son del mismo color, entonces se cambiará a ese mismo color. ii) Si sus dos vecinos son de diferentes colores, entonces se cambiará al tercer color. a) Existe algún collar que pueda transformarse en un collar que conste únicamente de perlas amarillas si inicialmente la mitad de las perlas son negras y la otra mitad son verdes? b) Existe un collar que pueda transformarse en un collar que conste únicamente de perlas amarillas si inicialmente 998 perlas son negras y las restantes 1026 perlas son verdes?

Dos circunferencias de radio $R_1$ y $R_2$ son tangentes externamente entre sí. Además, ambas son tangentes a una semicircunferencia con radio de 1, como se muestra en la figura. a) Si $A_1$ y $A_2$ son los puntos de tangencia de las dos circunferencias con el diámetro de la semicircunferencia, encuentre la longitud de $\overline{A_1 A_2}$ . b) Demuestre que $R_{1}+R_{2}=2\sqrt{R_{1}R_{2}}(\sqrt{2}-\sqrt{R_{1}R_{2}})$ .

Cuántas soluciones enteras existen que satisfacen esta ecuación? $$x+4y-343\sqrt{x}-686\sqrt{y}+4\sqrt{xy}+2022=0$$