Los enteros positivos $x$ e $y$ son tales que $x^{2022}+x+y^2$ es divisible por $xy$ . a) Dé un ejemplo de tales enteros $x$ e $y$ , con $x>y$ . b) Demuestre que $x$ es un cuadrado perfecto.

Anselmo y Claudio están jugando alternativamente un juego con frutas en una caja. La caja inicialmente tiene $32$ frutas. Anselmo juega primero y cada turno consiste en quitar $1$ , $2$ o $3$ frutas de la caja o quitar $\frac{2}{3}$ de las frutas de la caja (esto sólo es posible cuando el número de frutas que quedan en la caja es múltiplo de $3$ ) . El jugador que quita la última fruta de la caja gana. ¿Cuál de estos dos jugadores tiene una estrategia ganadora? ¿Cómo debe jugar ese jugador para ganar?

Cuántas ternas $(a,b,c)$ con $a,b,c \in \mathbb{R}$ satisfacen el siguiente sistema? $$\begin{cases} a^4-b^4=c \ b^4-c^4=a \ c^4-a^4=b \end{cases}$$

Sean $f(x) = x^m + a_1x^{m-1} + \cdots+ a_{m-1}x + a_m$ y $g(x) = x^n + b_1x^{n-1} + \cdots + b_{n-1}x + b_n$ dos polinomios con coeficientes reales tales que para cada número real $x, f(x)$ es el cuadrado de un entero si y solo si lo es $g(x)$. Demuestre que si $n +m > 0$, entonces existe un polinomio $h(x)$ con coeficientes reales tal que $f(x) \cdot g(x) = (h(x))^2.$

Suponga que los puntos $X, Y,Z$ están ubicados en los lados $BC, CA$ , y $AB$ , respectivamente, del triángulo $ABC$ de tal manera que el triángulo $XY Z$ sea similar al triángulo $ABC$ . Demuestre que el ortocentro del triángulo $XY Z$ es el circuncentro del triángulo $ABC.$

Dado un grafo con $n$ vértices y un entero positivo $m$ que es menor que $ n$ , demuestre que el grafo contiene un conjunto de $m+1$ vértices en el que la diferencia entre el grado más grande de cualquier vértice en el conjunto y el grado más pequeño de cualquier vértice en el conjunto es a lo sumo $m-1.$

Sea $ \lfloor x \rfloor$ denota el mayor entero menor o igual que $ x.$ Escoja cualquier $ x_1$ en $ [0, 1)$ y defina la secuencia $ x_1, x_2, x_3, \ldots$ por $ x_{n+1} = 0$ si $ x_n = 0$ y $ x_{n+1} = \frac{1}{x_n} - \left \lfloor \frac{1}{x_n} \right \rfloor$ de lo contrario. Demuestre que \[ x_1 + x_2 + \ldots + x_n < \frac{F_1}{F_2} + \frac{F_2}{F_3} + \ldots + \frac{F_n}{F_{n+1}},\] donde $ F_1 = F_2 = 1$ y $ F_{n+2} = F_{n+1} + F_n$ para $ n \geq 1.$

Sea $F_n$ el n-ésimo número de Fibonacci, definido por $F_1 = F_2 = 1$ y $F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$ para $n > 2$ . Sea $A_0, A_1, A_2,\cdots$ una secuencia de puntos en un círculo de radio $1$ tal que el arco menor de $A_{k-1}$ a $A_k$ corre en el sentido de las agujas del reloj y tal que \[\mu(A_{k-1}A_k)=\frac{4F_{2k+1}}{F_{2k+1}^2+1}\] para $k \geq 1$ , donde $\mu(XY )$ denota la medida en radianes del arco $XY$ en el sentido de las agujas del reloj. ¿Cuál es el límite de la medida en radianes del arco $A_0A_n$ cuando $n$ se acerca al infinito?

Demostrar que si se eligen $994$ enteros de $1, 2,\cdots , 1992$ y uno de los enteros elegidos es menor que $64$ , entonces existen dos entre los enteros elegidos tal que uno de ellos es un factor del otro.

Sean $P_1(x, y)$ y $P_2(x, y)$ dos polinomios relativamente primos con coeficientes complejos. Sean $Q(x, y)$ y $R(x, y)$ polinomios con coeficientes complejos y cada uno de grado no superior a $d$ . Demuestre que existen dos enteros $A_1, A_2$ no simultáneamente cero con $|A_i| \leq d + 1 \ (i = 1, 2)$ y tales que el polinomio $A_1P_1(x, y) + A_2P_2(x, y)$ es coprimo con $Q(x, y)$ y $R(x, y).$