Sean dos círculos $A$ y $B$ con radios desiguales $r$ y $R$ , respectivamente, tangentes internamente en el punto $A_0$ . Si existe una secuencia de círculos distintos $(C_n)$ tales que cada círculo es tangente tanto a $A$ como a $B$ , y cada círculo $C_{n+1}$ toca el círculo $C_{n}$ en el punto $A_n$ , demuestre que \[\sum_{n=1}^{\infty} |A_{n+1}A_n| < \frac{4 \pi Rr}{R+r}.\]

Sea $ \alpha(n)$ el número de dígitos iguales a uno en la representación binaria de un entero positivo $ n.$ Demuestre que: \n(a) la desigualdad $ \alpha(n) (n^2 ) \leq \frac{1}{2} \alpha(n)(\alpha(n) + 1)$ se cumple; \n(b) la desigualdad anterior es una igualdad para infinitos enteros positivos, y \n(c) existe una secuencia $ (n_i )^{\infty}_1$ tal que $ \frac{\alpha ( n^2_i )}{\alpha (n_i }$ tiende a cero cuando $ i$ tiende a $ \infty.$ \nProblema alternativo: Demuestre que existe una secuencia una secuencia $ (n_i )^{\infty}_1$ tal que $ \frac{\alpha ( n^2_i )}{\alpha (n_i )}$ \n(d) $ \infty;$ \n(e) un número real arbitrario $ \gamma \in (0,1)$ ; \n(f) un número real arbitrario $ \gamma \geq 0$ ; cuando $ i$ tiende a $ \infty.$

Demuestre que los números $\tan \left(\frac{r \pi }{15}\right)$ , donde $r$ es un entero positivo menor que $15$ y relativamente primo con $15$ , satisfacen \[x^8 - 92x^6 + 134x^4 - 28x^2 + 1 = 0.\]

En un triángulo, una simediana es una línea que pasa por un vértice que es simétrica a la mediana con respecto a la bisectriz interna (todo en relación con el mismo vértice). En el triángulo $ABC$ , la mediana $m_a$ se encuentra con $BC$ en $A'$ y la circunferencia circunscrita nuevamente en $A_1$ . La simediana $s_a$ se encuentra con $BC$ en $M$ y la circunferencia circunscrita nuevamente en $A_2$ . Dado que la línea $A_1A_2$ contiene el circuncentro $O$ del triángulo, demuestre que: \n(a) $\frac{AA'}{AM} = \frac{b^2+c^2}{2bc} ;$ \n(b) $1+4b^2c^2 = a^2(b^2+c^2)$

Una circunferencia de radio $\rho$ es tangente a los lados $AB$ y $AC$ del triángulo $ABC$ , y su centro $K$ está a una distancia $p$ de $BC$ . (a) Demostrar que $a(p - \rho) = 2s(r - \rho)$ , donde $r$ es el inradio y $2s$ el perímetro de $ABC$ . (b) Demostrar que si la circunferencia intersecta a $BC$ en $D$ y $E$ , entonces \[DE=\frac{4\sqrt{rr_1(\rho-r)(r_1-\rho)}}{r_1-r}\] donde $r_1$ es el exradio correspondiente al vértice $A.$

Si $A, B, C$ , y $D$ son cuatro puntos distintos en el espacio, demuestre que existe un plano $P$ en el que las proyecciones ortogonales de $A, B, C$ , y $D$ forman un paralelogramo (posiblemente degenerado).

Para cualquier entero positivo $n$ considere todas las representaciones $n = a_1 + \cdots+ a_k$ , donde $a_1 > a_2 > \cdots > a_k > 0$ son enteros tales que para todo $i \in \{1, 2, \cdots , k - 1\}$ , el número $a_i$ es divisible por $a_{i+1}$ . Encuentra la representación más larga de este tipo del número $1992.$

Sean $a$ y $b$ enteros. Demostrar que $\frac{2a^2-1}{b^2+2}$ no es un entero.

Sean $c_1, \cdots, c_n \ (n \geq 2)$ números reales tales que $0 \leq \sum c_i \leq n$. Demostrar que existen enteros $k_1, \cdots , k_n$ tales que $\sum k_i=0$ y $1-n \leq c_i + nk_i \leq n$ para todo $i = 1, \cdots , n.$

Hay un tablero con $2n \cdot 2n \ (= 4n^2)$ cuadrados y $4n^2-1$ cartas numeradas con diferentes números naturales. Estas cartas se colocan una por una en cada uno de los cuadrados. Un cuadrado está vacío. Podemos mover una carta a un cuadrado vacío desde uno de los cuadrados adyacentes (dos cuadrados son adyacentes si tienen un borde común). ¿Es posible intercambiar dos cartas en dos cuadrados adyacentes de una columna (o una fila) en un número finito de movimientos?