¿Existe un conjunto $ M$ con las siguientes propiedades? (i) El conjunto $ M$ consta de 1992 números naturales. (ii) Cada elemento en $ M$ y la suma de cualquier número de elementos tienen la forma $ m^k$ $ (m, k \in \mathbb{N}, k \geq 2).$

Sea un $7$ - gono regular $A_0A_1A_2A_3A_4A_5A_6$ inscrito en un círculo. Demuestre que para cualesquiera dos puntos $P, Q$ en el arco $A_0A_6$ la siguiente igualdad se cumple: \[\sum_{i=0}^6 (-1)^{i} PA_i = \sum_{i=0}^6 (-1)^{i} QA_i .\]

Para números positivos $a, b, c$ defina $A = \frac{(a + b + c)}{3}$ , $G = \sqrt[3]{abc}$ , $H = \frac{3}{(a^{-1} + b^{-1} + c^{-1})}.$ Pruebe que \[ \left( \frac AG \right)^3 \geq \frac 14 + \frac 34 \cdot \frac AH.\]

Un grafo dirigido (cualesquiera dos vértices distintos unidos por como máximo una línea dirigida) tiene la siguiente propiedad: Si $x, u,$ y $v$ son tres vértices distintos tales que $x \to u$ y $x \to v$ , entonces $u \to w$ y $v \to w$ para algún vértice $w$ . Suponga que $x \to u \to y \to\cdots \to z$ es un camino de longitud $n$ , que no puede extenderse a la derecha (ninguna flecha sale de $z$ ). Demuestre que todo camino que comienza en $x$ llega después de $n$ pasos a $z.$

Para cualquier entero positivo $ x$ defina $ g(x)$ como el mayor divisor impar de $ x,$ y \[ f(x) = \begin{cases} \frac {x}{2} + \frac {x}{g(x)} & \text{si \(x\) es par}, \\ 2^{\frac {x + 1}{2}} & \text{si \(x\) es impar}. \end{cases} \] Construya la secuencia $ x_1 = 1, x_{n + 1} = f(x_n).$ Demuestre que el número 1992 aparece en esta secuencia, determine el menor $ n$ tal que $ x_n = 1992,$ y determine si $ n$ es único.

Suponga que $n > m \geq 1$ son enteros tales que la cadena de dígitos $143$ aparece en alguna parte de la representación decimal de la fracción $\frac{m}{n}$ . Pruebe que $n > 125.$

Encuentra todos los enteros $\,a,b,c\,$ con $\,1<a<b<c\,$ tales que \[ (a-1)(b-1)(c-1) \] es un divisor de $abc-1.$

Sea $n$ un entero $> 1$ . En una disposición circular de $n$ lámparas $L_0, \cdots, L_{n-1}$ , cada una de las cuales puede estar ENCENDIDA o APAGADA, comenzamos con la situación en que todas las lámparas están ENCENDIDAS, y luego llevamos a cabo una secuencia de pasos, $Step_0, Step_1, \cdots$ . Si $L_{j-1}$ ( $j$ se toma mod n) está ENCENDIDA, entonces $Step_j$ cambia el estado de $L_j$ (pasa de ENCENDIDA a APAGADA o de APAGADA a ENCENDIDA) pero no cambia el estado de ninguna de las otras lámparas. Si $L_{j-1}$ está APAGADA, entonces $Step_j$ no cambia nada en absoluto. Demuestre que: (a) Existe un entero positivo $M(n)$ tal que después de $M(n)$ pasos todas las lámparas están ENCENDIDAS nuevamente. (b) Si $n$ tiene la forma $2^k$ , entonces todas las lámparas están ENCENDIDAS después de $n^2 - 1$ pasos. (c) Si $n$ tiene la forma $2^k +1$ , entonces todas las lámparas están ENCENDIDAS después de $n^2 -n+1$ pasos.

Sean $ f, g$ y $ a$ polinomios con coeficientes reales, $ f$ y $ g$ en una variable y $ a$ en dos variables. Suponga que \[ f(x) - f(y) = a(x, y)(g(x) - g(y)) \forall x,y \in \mathbb{R}\] Pruebe que existe un polinomio $ h$ con $ f(x) = h(g(x)) \text{ } \forall x \in \mathbb{R}.$

Sea $N$ un punto dentro del triángulo $ABC$ . A través de los puntos medios de los segmentos $AN, BN$ , y $CN$ se construyen las líneas paralelas a los lados opuestos de $\triangle ABC$ . Sean $AN, BN$ , y $CN$ los puntos de intersección de estas líneas. Si $N$ es el ortocentro del triángulo $ABC$ , demostrar que los círculos de nueve puntos de $\triangle ABC$ y $\triangle A_NB_NC_N$ coinciden. Nota. La declaración del problema original era que los círculos de nueve puntos de los triángulos $A_NB_NC_N$ y $A_MB_MC_M$ coinciden, donde $N$ y $M$ son el ortocentro y el centroide de $ABC$ . Esta declaración es falsa.