Dados los números reales $x_i \ (i = 1, 2, \cdots, 4k + 2)$ tales que \[\sum_{i=1}^{4k +2} (-1)^{i+1} x_ix_{i+1} = 4m \qquad ( \ x_1=x_{4k+3} \ )\] demostrar que es posible elegir números $x_{k_{1}}, \cdots, x_{k_{6}}$ tales que \[\sum_{i=1}^{6} (-1)^{i} k_i k_{i+1} > m \qquad ( \ x_{k_{1}} = x_{k_{7}} \ )\]

Encontrar todas las funciones $f : \mathbb R^+ \to \mathbb R$ que satisfacen la identidad \[f(x)f(y)=y^{\alpha}f\left(\frac x2 \right) + x^{\beta} f\left(\frac y2 \right) \qquad \forall x,y \in \mathbb R^+\] Donde $\alpha,\beta$ son números reales dados.

Evaluar \[\left \lfloor \prod_{n=1}^{1992} \frac{3n+2}{3n+1} \right \rfloor\]

Demostrar que la secuencia $5, 12, 19, 26, 33,\cdots $ no contiene ningún término de la forma $2^n -1.$

Sea $n$ un entero positivo. Prueba que el número de maneras de expresar $n$ como una suma de enteros positivos distintos (hasta el orden) y el número de maneras de expresar $n$ como una suma de enteros positivos impares (hasta el orden) son los mismos.

Prueba que $\frac{5^{125}-1}{5^{25}-1}$ es un número compuesto.

Encuentra el número de enteros positivos $n$ que satisfacen $\phi(n) | n$ tal que \n\[\sum_{m=1}^{\infty} \left( \left[ \frac nm \right] - \left[\frac{n-1}{m} \right] \right) = 1992\]\n¿Cuál es el número más grande entre ellos? Como es usual, $\phi(n)$ es el número de enteros positivos menores o iguales que $n$ y relativamente primos con $n.$

En un triángulo $ ABC,$ sean $ D$ y $ E$ las intersecciones de las bisectrices de $ \angle ABC$ y $ \angle ACB$ con los lados $ AC,AB,$ respectivamente. Determine los ángulos $ \angle A,\angle B, \angle C$ si $ \angle BDE = 24 ^{\circ},$ $ \angle CED = 18 ^{\circ}.$

Sea $S$ un conjunto de enteros positivos $n_1, n_2, \cdots, n_6$ y sea $n(f)$ denota el número $n_1n_{f(1)} +n_2n_{f(2)} +\cdots+n_6n_{f(6)}$ , donde $f$ es una permutación de $\{1, 2, . . . , 6\}$ . Sea \n\[\Omega=\{n(f) | f \text{ es una permutación de } \{1, 2, . . . , 6\} \} \]\nDa un ejemplo de enteros positivos $n_1, \cdots, n_6$ tal que $\Omega$ contenga tantos elementos como sea posible y determina el número de elementos de $\Omega$ .

Los colonizadores de un planeta esférico han decidido construir $N$ ciudades, cada una con un área de $1/1000$ del área total del planeta. También decidieron que dos puntos cualesquiera pertenecientes a diferentes ciudades tendrán diferente latitud y diferente longitud. ¿Cuál es el valor máximo de $N$ ?