Sea $n \geq 2$ un entero. Encuentra el mínimo $k$ para el cual existe una partición de $\{1, 2, . . . , k\}$ en $n$ subconjuntos $X_1,X_2, \cdots , X_n$ tal que se cumpla la siguiente condición: para cualquier $i, j, 1 \leq i < j \leq n$ , existen $x_i \in X_1, x_j \in X_2$ tal que $|x_i - x_j | = 1.$

Sea $\,S\,$ un conjunto finito de puntos en el espacio tridimensional. Sean $\,S_{x},\,S_{y},\,S_{z}\,$, los conjuntos que consisten en las proyecciones ortogonales de los puntos de $\,S\,$ sobre el plano $yz$, el plano $zx$, el plano $xy$, respectivamente. Demuestra que \[ \vert S\vert^{2}\leq \vert S_{x} \vert \cdot \vert S_{y} \vert \cdot \vert S_{z} \vert, \] donde $\vert A \vert$ denota el número de elementos en el conjunto finito $A$. Nota: La proyección ortogonal de un punto sobre un plano es el pie de la perpendicular desde ese punto al plano.

Sean los círculos $C_1, C_2$ y $C_3$ ortogonales al círculo $C$ e intersecándose entre sí dentro de $C$ formando ángulos agudos de medidas $A, B$ y $C$. Demuestra que $A + B + C < \pi.$

Encuentra todas las soluciones racionales de \[a^2 + c^2 + 17(b^2 + d^2) = 21,\] \[ab + cd = 2.\]

Sea $ f(x)$ un polinomio con coeficientes racionales y $ \alpha$ un número real tal que \[ \alpha^3 - \alpha = [f(\alpha)]^3 - f(\alpha) = 33^{1992}.\] Demuestre que para cada $ n \geq 1,$ \[ \left [ f^{n}(\alpha) \right]^3 - f^{n}(\alpha) = 33^{1992},\] donde $ f^{n}(x) = f(f(\cdots f(x))),$ y $ n$ es un entero positivo.

Sean $a, b, c$ enteros. Demuestre que existen enteros $p_1, q_1, r_1, p_2, q_2, r_2$ tales que \[a = q_1r_2 - q_2r_1, b = r_1p_2 - r_2p_1, c = p_1q_2 - p_2q_1.\]

Sean $a, b, c$ números reales positivos y $p, q, r$ números complejos. Sea $S$ el conjunto de todas las soluciones $(x, y, z)$ en $\mathbb C$ del sistema de ecuaciones simultáneas \[ax + by + cz = p,\] \[ax2 + by2 + cz2 = q,\] \[ax3 + bx3 + cx3 = r.\] Demuestre que $S$ tiene a lo sumo seis elementos.

Sea $S_n = \{1, 2,\cdots, n\}$ y $f_n : S_n \to S_n$ se define inductivamente como sigue: $f_1(1) = 1, f_n(2j) = j \ (j = 1, 2, \cdots , [n/2])$ y (i) si $n = 2k \ (k \geq 1)$ , entonces $f_n(2j - 1) = f_k(j) + k \ (j = 1, 2, \cdots, k);$ (ii) si $n = 2k + 1 \ (k \geq 1)$ , entonces $f_n(2k + 1) = k + f_{k+1}(1), f_n(2j - 1) = k + f_{k+1}(j + 1) \ (j = 1, 2,\cdots , k).$ Demuestre que $f_n(x) = x$ si y solo si $x$ es un entero de la forma \[\frac{(2n + 1)(2^d - 1)}{2^{d+1} - 1}\] para algún entero positivo $d.$

Sea $ f(x) = x^8 + 4x^6 + 2x^4 + 28x^2 + 1.$ Sea $ p > 3$ un primo y suponga que existe un entero $ z$ tal que $ p$ divide a $ f(z).$ Demuestre que existen enteros $ z_1, z_2, \ldots, z_8$ tales que si \[ g(x) = (x - z_1)(x - z_2) \cdot \ldots \cdot (x - z_8),\] entonces todos los coeficientes de $ f(x) - g(x)$ son divisibles por $ p.$

Sea $P_n = (19 + 92)(19^2 +92^2) \cdots(19^n +92^n)$ para cada entero positivo $n$ . Determine, con prueba, el entero positivo más pequeño $m$ , si existe, para el cual $P_m$ es divisible por $33^{33}.$