Demuestre que en el plano existe un polígono convexo de 1992 lados que satisface las siguientes condiciones: (i) las longitudes de sus lados son $ 1, 2, 3, \ldots, 1992$ en algún orden; (ii) el polígono es circunscribible alrededor de un círculo. Formulación alternativa: ¿Existe un 1992-gono con longitudes de lado $ 1, 2, 3, \ldots, 1992$ circunscrito alrededor de un círculo? Responda la misma pregunta para un 1990-gono.

Dos círculos $ \Omega_{1}$ y $ \Omega_{2}$ son externamente tangentes entre sí en un punto $ I$ , y ambos círculos son tangentes a un tercer círculo $ \Omega$ que encierra los dos círculos $ \Omega_{1}$ y $ \Omega_{2}$ . La tangente común a los dos círculos $ \Omega_{1}$ y $ \Omega_{2}$ en el punto $ I$ se encuentra con el círculo $ \Omega$ en un punto $ A$ . Una tangente común a los círculos $ \Omega_{1}$ y $ \Omega_{2}$ que no pasa por $ I$ se encuentra con el círculo $ \Omega$ en los puntos $ B$ y $ C$ tales que los puntos $ A$ e $ I$ se encuentran en el mismo lado de la línea $ BC$ . Pruebe que el punto $ I$ es el incentro del triángulo $ ABC$ . Formulación alternativa. Dos círculos se tocan externamente en un punto $ I$ . Los dos círculos se encuentran dentro de un círculo grande y ambos lo tocan. La cuerda $ BC$ del círculo grande toca ambos círculos más pequeños (no en $ I$ ) . La tangente común a los dos círculos más pequeños en el punto $ I$ se encuentra con el círculo grande en un punto $ A$ , donde los puntos $ A$ e $ I$ están en el mismo lado de la cuerda $ BC$ . Demuestre que el punto $ I$ es el incentro del triángulo $ ABC$ .

Sea $ABC$ un triángulo escaleno arbitrario. Defina $\sum$ como el conjunto de todos los círculos $y$ que tienen las siguientes propiedades: (i) $y$ se encuentra con cada lado de $ABC$ en dos puntos (posiblemente coincidentes); (ii) si los puntos de intersección de $y$ con los lados del triángulo están etiquetados por $P, Q, R, S, T , U$ , con los puntos que ocurren en los lados en los órdenes $\mathcal B(B,P,Q,C), \mathcal B(C, R, S,A), \mathcal B(A, T,U,B)$ , entonces las siguientes relaciones de paralelismo son válidas: $TS \parallel BC; PU\parallel CA; RQ\parallel AB$ . (En los casos límite, algunas de las condiciones de paralelismo se mantendrán vacías; por ejemplo, si $A$ se encuentra en el círculo $y$ , entonces $T$ , $S$ ambos coinciden con $A$ y la relación $TS \parallel BC$ se mantiene vacía.) (a) ¿En qué circunstancias $\sum$ es no vacío? (b) Suponiendo que Σ es no vacío, muestre cómo construir el lugar geométrico de los centros de los círculos en el conjunto $\sum$ . (c) Dado que el conjunto $\sum$ tiene solo un elemento, deduzca el tamaño del ángulo más grande de $ABC.$ (d) Muestre cómo construir los círculos en $\sum$ que tienen, respectivamente, los radios más grandes y más pequeños.

Sea $\,{\mathbb{R}}\, $ el conjunto de todos los números reales. Encuentre todas las funciones $\,f: {\mathbb{R}}\rightarrow {\mathbb{R}}\, $ tales que \[ f\left( x^{2}+f(y)\right) =y+\left( f(x)\right) ^{2}\hspace{0.2in}\text{para todos}\,x,y\in \mathbb{R}. \]

(a) Demostrar que el conjunto $\mathbb N$ de todos los enteros positivos se puede dividir en tres subconjuntos disjuntos $A, B$ , y $C$ que satisfacen las siguientes condiciones:\n$A^2 = A, B^2 = C, C^2 = B,$\n$AB = B, AC = C, BC = A,$\ndonde $HK$ representa $\{hk | h \in H, k \in K\}$ para cualesquiera dos subconjuntos $H, K$ de $\mathbb N$ , y $H^2$ denota $HH.$\n(b) Demostrar que para cada partición de $\mathbb N$ , $\min\{n \in N | n \in A \text{ y } n + 1 \in A\}$ es menor o igual a $77.$

(a) Demostrar que existe exactamente una función $ f : \mathbb Q^+ \to \mathbb Q^+$ que satisface las siguientes condiciones:\n(i) si $0 < q < \frac 12$ , entonces $f(q)=1+f \left( \frac{q}{1-2q} \right);$\n(ii) si $1 < q \leq 2$ , entonces $f(q) = 1+f(q + 1);$\n(iii) $f(q)f(1/q) = 1$ para todo $q \in \mathbb Q^+.$\n(b) Encontrar el número racional más pequeño $q \in \mathbb Q^+$ tal que $f(q) = \frac{19}{92}.$

Un número egipcio es un entero positivo que se puede expresar como una suma de enteros positivos, no necesariamente distintos, tales que la suma de sus recíprocos es $1$ . Por ejemplo, $32 = 2 + 3 + 9 + 18$ es egipcio porque $\frac 12 +\frac 13 +\frac 19 +\frac{1}{18}=1$ . Demostrar que todos los enteros mayores que $23$ son egipcios .

Para cada entero positivo $\,n,\;S(n)\,$, se define como el entero más grande tal que, para cada entero positivo $\,k\leq S(n),\;n^{2}\,$, se puede escribir como la suma de $\,k\,$ cuadrados positivos.\na.) Demostrar que $\,S(n)\leq n^{2}-14\,$ para cada $\,n\geq 4$ .\nb.) Encontrar un entero $\,n\,$ tal que $\,S(n)=n^{2}-14$ .\nc.) Demostrar que hay infinitos enteros $\,n\,$ tales que $S(n)=n^{2}-14.$

Demostrar que si $x,y,z >1$ y $\frac 1x +\frac 1y +\frac 1z = 2$ , entonces $\sqrt{x+y+z} \geq \sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-1}.$

Sean $X$ e $Y$ dos conjuntos de puntos en el plano y $M$ un conjunto de segmentos que conectan puntos de $X$ e $Y$ . Sea $k$ un número natural. Demuestra que los segmentos de $M$ se pueden pintar usando $k$ colores de tal manera que para cualquier punto $x \in X \cup Y$ y dos colores $\alpha$ y $\beta$ $(\alpha \neq \beta)$ , la diferencia entre el número de segmentos coloreados con $\alpha$ y el número de segmentos coloreados con $\beta$ que se originan en $X$ es menor o igual a $1$ .