Denotemos por $a_n$ al mayor número que no es divisible por $3$ y que divide a $n$ . Consideremos la sucesión $s_0 = 0, s_n = a_1 +a_2+\cdots+a_n, n \in \mathbb N$ . Denotemos por $A(n)$ el número de todas las sumas $s_k \ (0 \leq k \leq 3^n, k \in \mathbb N_0)$ que son divisibles por $3$ . Demuestra la fórmula \[A(n) = 3^{n-1} + 2 \cdot 3^{(n/2)-1} \cos \left(\frac{n\pi}{6}\right), \qquad n\in \mathbb N_0.\]

Los números de Fibonacci se definen de la siguiente manera: $F_0 = F_1 = 1, F_{n+2} = F_{n+1}+F_n, n \geq 0$ . Sea $a_n$ el número de palabras que constan de $n$ letras $0$ o $1$ y no contienen dos letras $1$ a distancia dos una de la otra. Expresa $a_n$ en términos de números de Fibonacci.

En el plano, sea $\,C\,$ un círculo, $\,L\,$ una línea tangente al círculo $\,C,\,$ y $\,M\,$ un punto en $\,L$ . Encuentra el lugar geométrico de todos los puntos $\,P\,$ con la siguiente propiedad: existen dos puntos $\,Q,R\,$ en $\,L\,$ tales que $\,M\,$ es el punto medio de $\,QR\,$ y $\,C\,$ es el círculo inscrito del triángulo $\,PQR$ .

Encuentra todas las ternas $(x, y, z)$ de enteros tales que \[\frac{1}{x^2}+\frac{2}{y^2}+\frac{3}{z^2} =\frac 23\]

Prueba que existen $78$ rectas en el plano tales que tienen exactamente $1992$ puntos de intersección.

Los enteros $a_1, a_2, . . . , a_n$ satisfacen $|a_k| = 1$ y \[ \sum_{k=1}^{n} a_ka_{k+1}a_{k+2}a_{k+3} = 2,\] donde $a_{n+j} = a_j$ . Demuestra que $n \neq 1992.$

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo tal que $AC = BD$ . Se construyen triángulos equiláteros en los lados del cuadrilátero. Sean $O_1,O_2,O_3,O_4$ los centros de los triángulos construidos en $AB,BC,CD,DA$ respectivamente. Demuestra que $O_1O_3$ es perpendicular a $O_2O_4.$

Dado un triángulo $ABC$ tal que el circuncentro está en el interior del incírculo, prueba que el triángulo $ABC$ es acutángulo.

Sea $\phi(n,m), m \neq 1$ , el número de enteros positivos menores o iguales que $n$ que son coprimos con $m.$ Claramente, $\phi(m,m) = \phi(m)$ , donde $\phi(m)$ es la función phi de Euler. Encuentra todos los enteros $m$ que satisfacen la siguiente desigualdad: \[\frac{\phi(n,m)}{n} \geq \frac{\phi(m)}{m}\] para cada entero positivo $n.$

Considere $9$ puntos en el espacio, no cuatro de los cuales son coplanarios. Cada par de puntos está unido por una arista (es decir, un segmento de línea) y cada arista está coloreada de azul o rojo o se deja sin colorear. Encuentre el valor más pequeño de $\,n\,$ tal que siempre que se coloreen exactamente $\,n\,$ aristas, el conjunto de aristas coloreadas contiene necesariamente un triángulo todas cuyas aristas tienen el mismo color.