Las diagonales de un cuadrilátero $ABCD$ son perpendiculares: $AC\perp BD$ . Cuatro cuadrados, $ABEF,BCGH,CDIJ,DAKL$ , se erigen externamente sobre sus lados. Los puntos de intersección de los pares de líneas rectas $CL,DF; DF,AH; AH,BJ; BJ,CL$ se denotan por $P_1,Q_1,R_1, S_1$ , respectivamente, y los puntos de intersección de los pares de líneas rectas $AI,BK; BK,CE;$ $ CE,DG; DG,AI$ se denotan por $P_2,Q_2,R_2, S_2$ , respectivamente. Demuestre que $P_1Q_1R_1S_1 \cong P_2Q_2R_2S_2.$

Dados dos números reales positivos $a$ y $b$ , suponga que una función $f : \mathbb R^+ \to \mathbb R^+$ satisface la ecuación funcional \[f(f(x)) + af(x) = b(a + b)x.\] Demuestre que existe una solución única de esta ecuación.

Sea $X$ un conjunto acotado no vacío de puntos en el plano cartesiano. Sea $f(X)$ el conjunto de todos los puntos que están a una distancia de como máximo $1$ de algún punto en $X$ . Sea $f_n(X) = f(f(\cdots(f(X))\cdots))$ ( $n$ veces). Demuestre que $f_n(X)$ se vuelve 'más circular' a medida que $n$ se hace más grande. En otras palabras, si $r_n = \sup\{\text{radios de círculos contenidos en } f_n(X) \}$ y $R_n = \inf \{\text{radios de círculos que contienen } f_n(X)\}$ , entonces demuestre que $R_n/r_n$ se acerca arbitrariamente a $1$ a medida que $n$ se hace arbitrariamente grande.

Sean $I,H,O$ el incentro, baricentro y circuncentro del triángulo no isósceles $ABC$. Demuestra que $AI \parallel HO$ si y solo si $\angle BAC =120^{\circ}$.

Sean $p, q$ y $r$ los ángulos de un triángulo, y sean $a = \sin2p, b = \sin2q$ y $c = \sin2r$ . Si $s = \frac{(a + b + c)}2$ , demuestra que \[s(s - a)(s - b)(s -c) \geq 0.\] ¿Cuándo se cumple la igualdad?

Sea $ABC$ un triángulo, $O$ su circuncentro, $S$ su baricentro y $H$ su ortocentro. Denotemos por $A_1, B_1$ y $C_1$ los centros de las circunferencias circunscritas alrededor de los triángulos $CHB, CHA$ y $AHB$ , respectivamente. Demuestra que el triángulo $ABC$ es congruente al triángulo $A_1B_1C_1$ y que la circunferencia de los nueve puntos de $\triangle ABC$ es también la circunferencia de los nueve puntos de $\triangle A_1B_1C_1$.

Sea $m$ un entero positivo y $x_0, y_0$ enteros tales que $x_0, y_0$ son relativamente primos, $y_0$ divide a $x_0^2+m$ , y $x_0$ divide a $y_0^2+m$ . Demuestra que existen enteros positivos $x$ e $y$ tales que $x$ e $y$ son relativamente primos, $y$ divide a $x^2 + m$ , $x$ divide a $y^2 + m$ , y $x + y \leq m+ 1$.

Se eligen los puntos $D$ y $E$ en los lados $AB$ y $AC$ del triángulo $ABC$ de tal manera que si $F$ es el punto de intersección de $BE$ y $CD$ , entonces $AE + EF = AD + DF$ . Demuestra que $AC + CF = AB + BF$.

¿Existen 16 números de tres dígitos, usando sólo tres dígitos diferentes en todos, de modo que todos los números den residuos diferentes cuando se dividen por 16?

Encontrar todos los pares de enteros positivos $ (x,y)$ tales que\n\[ x^y = y^{x - y}.\n\]