Olimpiada Júnior Balcánica 1998 Problema 2
Sea $ABCDE$ un pentágono convexo tal que $AB=AE=CD=1$ , $\angle ABC=\angle DEA=90^\circ$ y $BC+DE=1$ . Calcular el área del pentágono.
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Olimpiada Júnior Balcánica 1998 Problema 1
Demostrar que el número $\underbrace{111\ldots 11}_{1997}\underbrace{22\ldots 22}_{1998}5$ (el cual tiene 1997 unos y 1998 doses) es un cuadrado perfecto.
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Olimpiada Internacional de Matemáticas 1987 Problema 6
Sea $n\ge2$ un entero. Demostrar que si $k^2+k+n$ es primo para todos los enteros $k$ tales que $0\le k\le\sqrt{n\over3}$, entonces $k^2+k+n$ es primo para todos los enteros $k$ tales que $0\le k\le n-2$.
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Olimpiada Internacional de Matemáticas 1987 Problema 5
Sea $n\ge3$ un entero. Demostrar que existe un conjunto de $n$ puntos en el plano tales que la distancia entre dos puntos cualesquiera es irracional y cada conjunto de tres puntos determina un triángulo no degenerado con área racional.
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Olimpiada Internacional de Matemáticas 1987 Problema 4
Demostrar que no existe una función $f$ del conjunto de enteros no negativos en sí mismo tal que $f(f(n))=n+1987$ para todo $n$.
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Olimpiada Internacional de Matemáticas 1987 Problema 3
Sean $x_1,x_2,\ldots,x_n$ números reales que satisfacen $x_1^2+x_2^2+\ldots+x_n^2=1$. Demostrar que para cada entero $k\ge2$ existen enteros $a_1,a_2,\ldots,a_n$, no todos cero, tales que $|a_i|\le k-1$ para todo $i$, y $|a_1x_1+a_2x_2+\ldots+a_nx_n|\le{(k-1)\sqrt n\over k^n-1}$.
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Olimpiada Internacional de Matemáticas 1987 Problema 2
En un triángulo acutángulo $ABC$, la bisectriz interior del ángulo $A$ se encuentra con $BC$ en $L$ y se encuentra con la circunferencia circunscrita de $ABC$ nuevamente en $N$. Desde $L$ se dibujan perpendiculares a $AB$ y $AC$, con pies $K$ y $M$ respectivamente. Demostrar que el cuadrilátero $AKNM$ y el triángulo $ABC$ tienen áreas iguales.
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Olimpiada Internacional de Matemáticas 1987 Problema 1
Sea $p_n(k)$ el número de permutaciones del conjunto $\{1,2,3,\ldots,n\}$ que tienen exactamente $k$ puntos fijos. Demostrar que $\sum_{k=0}^n k p_n(k)=n!$ .
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Olimpiada Mediterránea de Matemáticas 2020 Problema 4
Sean $P,Q,R$ tres puntos en un círculo $k_1$ con $|PQ|=|PR|$ y $|PQ|>|QR|$ . Sea $k_2$ el círculo con centro en $P$ que pasa por $Q$ y $R$ . El círculo con centro $Q$ que pasa por $R$ interseca a $k_1$ en otro punto $X\ne R$ e interseca a $k_2$ en otro punto $Y\ne R$ . Los dos puntos $X$ y $R$ se encuentran en diferentes lados de la línea que pasa por $PQ$ . Demuestre que los tres puntos $P$ , $X$ , $Y$ se encuentran en una línea común.
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Olimpiada Mediterránea de Matemáticas 2020 Problema 3
Demuestre que todos los números reales positivos $a,b,c$ con $a+b+c=4$ satisfacen la desigualdad $$\frac{ab}{\sqrt[4]{3c^2+16}}+ \frac{bc}{\sqrt[4]{3a^2+16}}+ \frac{ca}{\sqrt[4]{3b^2+16}} \le\frac43 \sqrt[4]{12}$$
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