Sea $S$ un conjunto de $n\ge2$ enteros positivos. Demuestre que existen al menos $n^2$ enteros que pueden escribirse en la forma $x+yz$ con $x,y,z\in S$ .

Determine todos los enteros $m\ge2$ para los cuales existe un entero $n\ge1$ con $\gcd(m,n)=d$ y $\gcd(m,4n+1)=1$ .

Cada uno de los 2009 puntos distintos en el plano está coloreado de azul o rojo, de modo que en cada círculo unitario centrado en un punto azul hay exactamente dos puntos rojos. Encuentre el mayor número posible de puntos azules.

Sean $ x$ , $ y$ , $ z$ números reales tales que $ 0 < x,y,z < 1$ y $ xyz = (1 - x)(1 - y)(1 - z)$ . Demuestre que al menos uno de los números $ (1 - x)y,(1 - y)z,(1 - z)x$ es mayor o igual que $ \frac {1}{4}$

Resuelva en enteros no negativos la ecuación $ 2^{a}3^{b} + 9 = c^{2}$

Sea $ ABCDE$ un pentágono convexo tal que $ AB+CD=BC+DE$ y $ k$ un círculo con centro en el lado $ AE$ que toca los lados $ AB$ , $ BC$ , $ CD$ y $ DE$ en los puntos $ P$ , $ Q$ , $ R$ y $ S$ (diferentes de los vértices del pentágono) respectivamente. Demuestre que las líneas $ PS$ y $ AE$ son paralelas.

Dado un número entero positivo $n$ ( $n\ne 0$ ) , sea $f(n)$ el promedio de todos los divisores positivos de $n$ . Por ejemplo, $f(3)=\frac{1+3}{2}=2$ , y $f(12)=\frac{1+2+3+4+6+12}{6}=\frac{14}{3}$ . a Demuestre que $\frac{n+1}{2} \ge f(n)\ge \sqrt{n}$ . b Encuentre todos los $n$ tales que $f(n)=\frac{91}{9}$ .

Dado un cuadrado $ABCD$ con lado $1$ , y un cuadrado dentro de $ABCD$ con lado $x$ , encuentre (en términos de $x$ ) el radio $r$ del círculo tangente a dos lados de $ABCD$ y toca el cuadrado con lado $x$. (Ver imagen).

Un juego consiste en $9$ monedas (negras o blancas) dispuestas en la siguiente posición (ver imagen 1). Si elige $1$ moneda en el borde del cuadrado, esta moneda y sus vecinos cambian de color. Si elige la moneda en el centro, no cambia de color, pero las otras $8$ monedas sí. Aquí hay un ejemplo de $9$ monedas blancas y los cambios de sus colores, eligiendo la moneda dicha: (ver imagen 2). ¿Es posible, comenzando con $9$ monedas blancas, tener $9$ monedas negras?.

Se sabe que el número de soluciones reales del siguiente sistema es finito. Demuestre que este sistema tiene un número par de soluciones: $(y^2+6)(x-1)=y(x^2+1)$ $(x^2+6)(y-1)=x(y^2+1)$