Dos personas, $A$ y $B$, juegan el siguiente juego: $A$ comienza eligiendo un número entero positivo y luego, cada jugador en su turno, dice un número debido a la siguiente regla: Si el último número dicho era impar, el jugador suma $7$ a este número; Si el último número dicho era par, el jugador lo divide por $2$. El ganador es el jugador que repite el primer número dicho. Encuentre todos los números que $A$ puede elegir para ganar. Justifique su respuesta.

Sean $A, B$ y $C$ tres puntos no colineales y $E$ ($\ne B$) un punto arbitrario no en la línea recta $AC$. Construya los paralelogramos $ABCD$ y $AECF$. Demuestre que $BE \parallel DF$.

Sea $n \in N$ tal que $1 + 2 + ... + n$ es divisible por $3$. Los enteros $a_1 \ge a_2 \ge a_3 \ge 2$ tienen suma $n$ y satisfacen $1 + 2 + ... + a_1 \le \frac{1}{3}(1 + 2 + ... + n)$ y $1 + 2 + ... + (a_1+ a_2) \le \frac{2}{3}(1 + 2 + ... + n)$. Pruebe que existe una partición de $\{1, 2, ..., n\}$ en tres subconjuntos $A_1, A_2, A_3$ con cardinales $|A_i| = a_i, i = 1, 2, 3$, y con sumas iguales de sus elementos.

En el segmento $AC$ se toma un punto $B$. Construya círculos $T_1, T_2$ y $T_3$ de diámetros $AB, BC$ y $AC$ respectivamente. Una línea que pasa por $B$ corta a $T_3$ en los puntos $P$ y $Q$, y a los círculos $T_1$ y $T_2$ respectivamente en los puntos $R$ y $S$. Pruebe que $PR = QS$.

Un par $(a,b)$ de enteros positivos es Rioplatense si es cierto que $b + k$ es múltiplo de $a + k$ para todo $k \in \{0, 1, 2, 3, 4\}$. Pruebe que hay un conjunto infinito $A$ de enteros positivos tal que para cualesquiera dos elementos $a$ y $b$ de $A$, con $a < b$, el par $(a,b)$ es Rioplatense.

Kiko y Ñoño juegan con una varilla de longitud $2n$ donde $n \le 3$ es un entero. Kiko corta la varilla en $k \le 2n$ piezas de longitudes enteras. Entonces Ñoño tiene que organizar estas piezas para que formen un hexágono de lados opuestos iguales y ángulos iguales. Las piezas no se pueden dividir y todas tienen que ser utilizadas. Si Ñoño logra su objetivo, gana, en cualquier otro caso, Kiko gana. Determine qué victoria se puede asegurar basándose en $k$.

El Chapulín observó que el número $2014$ tiene una propiedad inusual. Al colocar sus ocho divisores positivos en orden creciente, el quinto divisor es igual a tres veces el tercero menos $4$. Un número de ocho divisores con esta propiedad inusual se llama número rojo. ¿Cuántos números rojos menores que $2014$ existen?

Sea $n \ge 3$ un entero positivo. Determine, en términos de $n$, cuántas ternas de conjuntos $(A,B,C)$ satisfacen las condiciones:\n$\bullet$ $A, B$ y $C$ son disjuntos dos a dos, es decir, $A \cap B = A \cap C = B \cap C = \emptyset$.\n$\bullet$ $A \cup B \cup C = \{1, 2, ..., n\}$.\n$\bullet$ La suma de los elementos de $A$, la suma de los elementos de $B$ y la suma de los elementos de $C$ dejan el mismo resto al dividirlos por $3$.\nNota: Uno o más de los conjuntos pueden estar vacíos.

Versión 1. Encuentra todos los primos $p$ que satisfacen las siguientes condiciones:\n(i) $\frac{p+1}{2}$ es un número primo.\n(ii) Hay al menos tres enteros positivos distintos $n$ para los cuales $\frac{p^2+n}{p+n^2}$ es un entero. \nVersión 2. Sea $p \neq 5$ un número primo tal que $\frac{p+1}{2}$ también es un primo. Suponga que existen enteros positivos $a <b$ tales que $\frac{p^2+a}{p+a^2}$ y $\frac{p^2+b}{p+b^2}$ son enteros. Demuestra que $b=(a-1)^2+1$ .

Encuentra el entero positivo más grande $k$ tal que podamos encontrar un conjunto $A \subseteq \{1,2, \ldots, 100 \}$ con $k$ elementos tal que, para cualquier $a,b \in A$ , $a$ divide a $b$ si y solo si $s(a)$ divide a $s(b)$ , donde $s(k)$ denota la suma de los dígitos de $k$ .