El triángulo $ABC$ se secciona mediante $AD,BE$ y $CF$ (donde $D \in (BC), E \in (CA)$ y $F \in (AB)$ ) en siete polígonos disjuntos llamados regiones . En cada uno de los nueve vértices de estas regiones escribimos un dígito, de modo que cada dígito distinto de cero aparece exactamente una vez. Asignamos a cada lado de una región el mínimo común múltiplo de los dígitos en sus extremos, y a cada región el máximo común divisor de los números asignados a sus lados. Encuentra el valor más grande posible del producto de los números asignados a las regiones.

Sea $A$ un subconjunto de $\{2,3, \ldots, 28 \}$ tal que si $a \in A$ , entonces el residuo obtenido cuando dividimos $a^2$ por $29$ también pertenece a $A$ . Encuentra el valor mínimo posible de $|A|$ .

Un entero positivo se llama Tiranio si se puede escribir como $x^2+6xy+y^2$ , donde $x$ e $y$ son enteros positivos (no necesariamente distintos). El entero $36^{2023}$ se escribe como la suma de $k$ enteros Tiranios. ¿Cuál es el valor posible más pequeño de $k$ ?

Encuentra todos los pares $(a,b)$ de enteros positivos tales que $a!+b$ y $b!+a$ son ambas potencias de $5$.

Sean $D$ y $E$ puntos arbitrarios en los lados $BC$ y $AC$ del triángulo $ABC$, respectivamente. La circunferencia circunscrita de $\triangle ADC$ se encuentra por segunda vez con la circunferencia circunscrita de $\triangle BCE$ en el punto $F$. La línea $FE$ se encuentra con la línea $AD$ en el punto $G$, mientras que la línea $FD$ se encuentra con la línea $BE$ en el punto $H$. Demuestre que las líneas $CF, AH$ y $BG$ pasan por el mismo punto.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con circuncentro $O$. Sea $D$ el pie de la altitud desde $A$ a $BC$ y sea $M$ el punto medio de $OD$. Los puntos $O_b$ y $O_c$ son los circuncentros de los triángulos $AOC$ y $AOB$, respectivamente. Si $AO=AD$, pruebe que los puntos $A$, $O_b$, $M$ y $O_c$ son concíclicos.

Sean $D,E,F$ los puntos de tangencia de la circunferencia inscrita de un triángulo dado $ABC$ con los lados $BC, CA, AB,$ respectivamente. Denotemos por $I$ el incentro de $ABC$, por $M$ el punto medio de $BC$ y por $G$ el pie de la perpendicular desde $M$ a la línea $EF$. Pruebe que la línea $ID$ es tangente a la circunferencia circunscrita del triángulo $MGI$.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico, para el cual $B$ y $C$ son ángulos agudos. $M$ y $N$ son las proyecciones del vértice $B$ en las líneas $AC$ y $AD$, respectivamente, $P$ y $T$ son las proyecciones del vértice $D$ en las líneas $AB$ y $AC$ respectivamente, $Q$ y $S$ son las intersecciones de los pares de líneas $MN$ y $CD$, y $PT$ y $BC$, respectivamente. Pruebe las siguientes afirmaciones: a) $NS \parallel PQ \parallel AC$ ; b) $NP=SQ$ ; c) $NPQS$ es un rectángulo si, y sólo si, $AC$ es un diámetro de la circunferencia circunscrita del cuadrilátero $ABCD$.

G3 Sean $A,B,C,D$ y $E$ cinco puntos que se encuentran en este orden en un círculo, tales que $AD=BC$ . Las líneas $AD$ y $BC$ se encuentran en un punto $F$ . Los circuncírculos de los triángulos $CEF$ y $ABF$ se encuentran de nuevo en el punto $P$ . Pruebe que los circuncírculos de los triángulos $BDF$ y $BEP$ son tangentes entre sí.

G2 Sea $ABC$ un triángulo con $AB<AC$ y $\omega$ su circuncírculo. La línea tangente a $\omega$ en $A$ interseca la línea $BC$ en $D$ y sea $E$ un punto en $\omega$ tal que $BE$ es paralelo a $AD$ . $DE$ interseca el segmento $AB$ y $\omega$ en $F$ y $G$ , respectivamente. El circuncírculo de $BGF$ interseca a $BE$ en $N$ . La línea $NF$ interseca las líneas $AD$ y $EA$ en $S$ y $T$ , respectivamente. Pruebe que $DGST$ es cíclico.