1 Algunos enteros positivos, cuya suma es $23$ , están escritos en forma secuencial. Ni uno de los términos ni la suma de algunos términos consecutivos de la sucesión es igual a $3$ . a) ¿Es posible que la sucesión contenga exactamente $11$ términos? b) ¿Es posible que la sucesión contenga exactamente $12$ términos?

2 Ana horneó 15 empanadas. Las colocó en un plato redondo de forma circular: 7 de col, 7 de carne y 1 de cerezas en ese orden exacto, y puso el plato en un microondas. Ella no sabe cómo ha sido rotado el plato en el microondas. Quiere comer una empanada de cerezas. ¿Es posible que Ana, probando no más de tres empanadas, encuentre exactamente dónde está la empanada de cerezas?

2 Sean $a_1,a_2,...,a_n$ enteros tales que $a_1^{20}+a_2^{20}+...+a_n^{20}$ es divisible por $2020$ . Demuestre que $a_1^{2020}+a_2^{2020}+...+a_n^{2020}$ es divisible por $2020$ .

1 Sea $x\in\mathbb{R}$ . ¿Cuál es el valor máximo de la siguiente expresión: $\sqrt{x-2018} + \sqrt{2020-x}$ ?

3 Halle todos los números primos $p$ tales que $3^p + 5^p -1$ es un número primo.

4 Sea $P(x)$ un polinomio con coeficientes enteros. Denotaremos el conjunto de todos los números primos por $\mathbb P$ . Demuestre que el conjunto $\mathbb S := \{p\in\mathbb P : \exists\text{ }n \text{ s.t. }p\mid P(n)\}$ es finito si y solo si $P(x)$ es un polinomio constante no nulo.

3 Sea $\triangle ABC$ un triángulo. Sea $O$ el circuncentro del triángulo $\triangle ABC$ y $P$ un punto variable en el segmento $BC$ . La circunferencia con centro $P$ y radio $PA$ interseca la circunferencia circunscrita del triángulo $\triangle ABC$ nuevamente en otro punto $R$ , y $RP$ interseca la circunferencia circunscrita del triángulo $\triangle ABC$ nuevamente en otro punto $Q$ . Demuestre que los puntos $A$ , $O$ , $P$ y $Q$ son concíclicos.

4 Sean $B'$ y $C'$ puntos en la circunferencia circunscrita del triángulo $\triangle ABC$ tales que $AB=AB'$ y $AC=AC'$ . Sean $E$ y $F$ los pies de las alturas desde $B$ y $C$ hacia $AC$ y $AB$ , respectivamente. Demuestre que $B'E$ y $C'F$ se intersecan sobre la circunferencia circunscrita del triángulo $\triangle ABC$ .

3 Sea $ABC$ un triángulo con incentro $I$ . Los puntos $D$ y $E$ están sobre los segmentos $CA$ y $BC$ respectivamente, tales que $CD = CE$ . Sea $F$ un punto del segmento $CD$ . Demuestre que el cuadrilátero $ABEF$ es circunscribible si y solo si el cuadrilátero $DIEF$ es cíclico. Propuesto por Dorlir Ahmeti, Albania

1 Calcule $1^2-2^2+3^2-4^2+...-2018^2+2019^2$ .