1 Demuestre para cualesquiera positivos $a,b,c$ la desigualdad $$ \sqrt[3]{\dfrac{a}{b}}+\sqrt[5]{\dfrac{b}{c}}+\sqrt[7]{\dfrac{c}{a}}>\dfrac{5}{2}$$

1 Sea $ABCD$ un cuadrilátero tal que todos sus lados tienen igual longitud y $\angle{ABC} =60^o$. Sea $l$ una recta que pasa por $D$ y no interseca al cuadrilátero (excepto en $D$). Sean $E$ y $F$ los puntos de intersección de $l$ con $AB$ y $BC$ respectivamente. Sea $M$ el punto de intersección de $CE$ y $AF$. Demuestra que $CA^2 = CM \times CE$.

2 Encuentra el número total de valores enteros diferentes que toma la función \[ f(x) = [x] + [2x] + [\frac{5x}{3}] + [3x] + [4x] \] para números reales $x$ con $0 \leq x \leq 100$ .

3 Sean \begin{eqnarray*} f(x) & = & a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_0 \ \ \mbox{y} \\ g(x) & = & c_{n+1} x^{n+1} + c_n x^n + \cdots + c_0 \end{eqnarray*} polinomios no nulos con coeficientes reales tales que $g(x) = (x+r)f(x)$ para algún número real $r$. Si $a = \max(|a_n|, \ldots, |a_0|)$ y $c = \max(|c_{n+1}|, \ldots, |c_0|)$, demuestra que $\frac{a}{c} \leq n+1$.

4 Determina todos los enteros positivos $n$ para los cuales la ecuación \[ x^n + (2+x)^n + (2-x)^n = 0 \] tiene una solución entera.

5 Sean $P_1$, $P_2$, $\ldots$, $P_{1993} = P_0$ puntos distintos en el plano $xy$ con las siguientes propiedades: (i) ambas coordenadas de $P_i$ son enteros, para $i = 1, 2, \ldots, 1993$; (ii) no hay ningún punto distinto de $P_i$ y $P_{i+1}$ sobre el segmento de recta que une a $P_i$ con $P_{i+1}$ cuyas coordenadas sean ambas enteras, para $i = 0, 1, \ldots, 1992$. Demuestra que para algún $i$, $0 \leq i \leq 1992$, existe un punto $Q$ con coordenadas $(q_x, q_y)$ sobre el segmento de recta que une a $P_i$ con $P_{i+1}$ tal que tanto $2q_x$ como $2q_y$ son enteros impares.

3 Sea $\mathbb{N}$ el conjunto de los enteros positivos. Encuentra todas las funciones $f:\mathbb{N}\longrightarrow\mathbb{N}$ tales que \[n+f(m)\mid f(n)+nf(m)\] para todos $m,n\in \mathbb{N}$. Propuesto por Dorlir Ahmeti, Albania

1 Encuentra todos los pares ordenados de enteros positivos $(x, y)$ tales que: $$x^3+y^3=x^2+42xy+y^2.$$

4 Se traza una recta $g$ a través de un $n$ - ágono convexo $P_1P_2...P_n$ , que tiene un círculo inscrito $c$ . La recta $g$ interseca el lado $P_nP_1$ en un punto $M$ y el lado $P_kP_{k+1}$ ( $1 \le k < n$ ) en un punto $N$ . La recta $g$ se traza de modo que divida en dos partes iguales tanto el perímetro como el área del $n$ - ágono, es decir, de modo que se cumplan las siguientes condiciones (1) y (2): (1) Las longitudes de los segmentos $MP_1P_2...P_kN$ y $NP_{k+1}P_{k+2}...P_nM$ son iguales. (2) Las áreas de los polígonos $MP_1P_2...P_kN$ y $NP_{k+1}P_{k+2}...P_nM$ son iguales. Demuestre que de estas condiciones se sigue siempre que la recta $g$ pasa por el centro del círculo $c$ .

g6 Sea $ABCD$ un cuadrilátero con diagonales perpendiculares y $\angle B=\angle D=90^o$. Sea la circunferencia de centro $O$ inscrita en el cuadrilátero $ABCD$, con $M$ y $N$ los puntos de tangencia con los lados $AB$ y $BC$ respectivamente. Sea $C$ el centro de una circunferencia tangente a $AB$ y $AD$ en los puntos $B$ y $D$ respectivamente. Sobre las prolongaciones de $AB$ y $AD$ más allá de $B$ y $D$, se encuentran los puntos $B'$ y $D'$ respectivamente, tales que el cuadrilátero $AB'C'D'$ es semejante al cuadrilátero $ABCD$ y tiene como circunferencia inscrita la circunferencia de centro $C$. En un cuadrilátero $AB'C'D'$, $N'$ es el punto de tangencia de su circunferencia inscrita con el lado $BC$. Si $MN'$ es paralelo a $AC'$, ¿cuál es la razón de $AB$ a $BC$, cuando $AB$ es más largo que $BC$?