3 Sea $O$ el circuncentro del triángulo $ABC$. La recta $CO$ interseca la altura desde $A$ en el punto $K$. Sean $P,M$ los puntos medios de $AK$, $AC$ respectivamente. Si $PO$ interseca a $BC$ en $Y$, y la circunferencia circunscrita del triángulo $BCM$ corta a $AB$ en $X$, demuestra que $BXOY$ es cíclico. Propuesto por Ali Daeinabi - Hamid Pardazi

5 Esfera $S$ toca un plano. Sean $A,B,C,D$ cuatro puntos en el plano tales que no hay tres de ellos colineales. Considera el punto $A'$ tal que $S$ es tangente a las caras del tetraedro $A'BCD$. Los puntos $B',C',D'$ se definen de manera similar. Demuestra que $A',B',C',D'$ son coplanares y que el plano $A'B'C'D'$ toca a $S$. Propuesto por Alexey Zaslavsky (Rusia)

4 4. Hay varios (al menos dos) enteros positivos escritos a lo largo del círculo. Para cualesquiera dos enteros vecinos, uno es o bien el doble del otro o bien cinco veces el otro. ¿Puede la suma de todos estos enteros ser igual a 2023 ? Sergey Dvoryaninov

3 En el plano, se dan $n$ puntos ($n>2$). No hay tres de ellos colineales. Por cada par de ellos se traza la recta, y entre los otros puntos dados, se marca el más cercano a esta recta (en cada caso este punto resultó ser único). ¿Cuál es el número máximo posible de puntos marcados para cada $n$ dado? Propuesto por Boris Frenkin (Rusia)

4 En el triángulo isósceles $ABC$ ( $AB=AC$ ), sea $l$ una recta paralela a $BC$ que pasa por $A$. Sea $D$ un punto arbitrario sobre $l$. Sean $E,F$ los pies de las perpendiculares trazadas desde $A$ a $BD,CD$ respectivamente. Supón que $P,Q$ son las proyecciones de $E,F$ sobre $l$. Demuestra que $AP+AQ\le AB$ Propuesto por Morteza Saghafian

Sea $\omega$ el circuncírculo del triángulo $ABC$ con $AC > AB$. Sea $X$ un punto sobre $AC$ y $Y$ un punto sobre la circunferencia $\omega$, tales que $CX = CY = AB$. (Los puntos $A$ y $Y$ están en lados distintos de la recta $BC$). La recta $XY$ corta a $\omega$ por segunda vez en el punto $P$. Demuestra que $PB = PC$.

5 Sean $X,Y$ dos puntos sobre el lado $BC$ del triángulo $ABC$ tales que $2XY=BC$ ($X$ está entre $B$ y $Y$). Sea $AA'$ el diámetro de la circunferencia circunscrita del triángulo $AXY$. Sea $P$ el punto donde $AX$ corta a la perpendicular desde $B$ a $BC$, y $Q$ el punto donde $AY$ corta a la perpendicular desde $C$ a $BC$. Demuestra que la recta tangente desde $A'$ a la circunferencia circunscrita de $AXY$ pasa por el circuncentro del triángulo $APQ$. Propuesto por Iman Maghsoudi.

3 Supón que $ABCD$ es un cuadrilátero convexo sin lados paralelos. Construye un paralelogramo sobre cada par de lados consecutivos. Demuestra que entre estos $4$ puntos nuevos, hay solo un punto dentro del cuadrilátero $ABCD$. por Morteza Saghafian

2 Sean dos círculos $C_1$ y $C_2$ que se intersectan en los puntos $A$ y $B$. La tangente a $C_1$ en $A$ intersecta a $C_2$ en $P$, y la recta $PB$ intersecta a $C_1$ por segunda vez en $Q$ (supón que $Q$ está fuera de $C_2$). La tangente a $C_2$ desde $Q$ intersecta a $C_1$ y a $C_2$ en $C$ y $D$, respectivamente. (Los puntos $A$ y $D$ están en lados distintos de la recta $PQ$). Demuestra que $AD$ es la bisectriz de $\angle CAP$. Propuesto por Iman Maghsoudi

3 Encuentra todos los enteros positivos \(N\) tales que existe un triángulo que puede ser diseccionado en \(N\) cuadriláteros semejantes. Propuesto por Nikolai Beluhov (Bulgaria) y Morteza Saghafian