2 $G$ es un conjunto de funciones no constantes $f$ . Cada $f$ está definida sobre la recta real y tiene la forma $f(x)=ax+b$ para algunos reales $a,b$ . Si $f$ y $g$ están en $G$ , entonces $fg$ también lo está, donde $fg$ se define por $fg(x)=f(g(x))$ . Si $f$ está en $G$ , entonces la inversa $f^{-1}$ también lo está. Si $f(x)=ax+b$ , entonces $f^{-1}(x)= \frac{x-b}{a}$ . Toda $f$ en $G$ tiene un punto fijo (en otras palabras, podemos encontrar $x_f$ tal que $f(x_f)=x_f$ ). Demuestre que todas las funciones en $G$ tienen un punto fijo común.

3 Sean $a_1, \ldots, a_n$ $n$ números positivos y $0 < q < 1.$ Determine $n$ números positivos $b_1, \ldots, b_n$ tales que: a.) $ a_{k} < b_{k}$ para todo $k = 1, \ldots, n,$ b.) $q < \frac{b_{k+1}}{b_{k}} < \frac{1}{q}$ para todo $k = 1, \ldots, n-1,$ c.) $\sum \limits^n_{k=1} b_k < \frac{1+q}{1-q} \cdot \sum \limits^n_{k=1} a_k.$

1 Determine el mayor número que es el producto de algunos enteros positivos, y tal que la suma de estos números es $1976.$

2 Consideramos el siguiente sistema con $q=2p$ : \[\begin{matrix} a_{11}x_{1}+\ldots+a_{1q}x_{q}=0,\\ a_{21}x_{1}+\ldots+a_{2q}x_{q}=0,\\ \ldots ,\\ a_{p1}x_{1}+\ldots+a_{pq}x_{q}=0,\\ \end{matrix}\] en el cual cada coeficiente es un elemento del conjunto $\{-1,0,1\}$ $.$ Demuestre que existe una solución $x_{1}, \ldots,x_{q}$ del sistema con las propiedades: a.) todos los $x_{j}, j=1,\ldots,q$ son enteros $;$ b.) existe al menos un j para el cual $x_{j} \neq 0;$ c.) $|x_{j}| \leq q$ para cualquier $j=1, \ldots ,q.$

3 Determine el valor mínimo de $a^{2} + b^{2}$ cuando $(a,b)$ recorre todos los pares de números reales para los cuales la ecuación \[ x^{4} + ax^{3} + bx^{2} + ax + 1 = 0 \] tiene al menos una raíz real.

3 Una sucesión $(u_{n})$ se define por \[ u_{0}=2 \quad u_{1}=\frac{5}{2}, u_{n+1}=u_{n}(u_{n-1}^{2}-2)-u_{1} \quad \textnormal{for } n=1,\ldots \] Demuestre que para cualquier entero positivo $n$ tenemos \[ [u_{n}]=2^{\frac{(2^{n}-(-1)^{n})}{3}} \] (donde $[x]$ denota el menor entero $\leq x)$

1 Sean $a,b,A,B$ reales dados. Consideramos la función definida por \[ f(x) = 1 - a \cdot \cos(x) - b \cdot \sin(x) - A \cdot \cos(2x) - B \cdot \sin(2x). \] Demuestre que si para cualquier número real $x$ tenemos $f(x) \geq 0$ entonces $a^2 + b^2 \leq 2$ y $A^2 + B^2 \leq 1.$

2 Sean $a,b$ dos números naturales. Cuando dividimos $a^2+b^2$ por $a+b$ , obtenemos el resto $r$ y el cociente $q.$ Determine todos los pares $(a, b)$ para los cuales $q^2 + r = 1977.$

3 Sea $\mathbb{N}$ el conjunto de los enteros positivos. Sea $f$ una función definida sobre $\mathbb{N}$ que satisface la desigualdad $f(n + 1) > f(f(n))$ para todo $n \in \mathbb{N}$ . Demuestre que para cualquier $n$ tenemos $f(n) = n.$

1 En un triángulo $ABC$ tenemos $AB = AC.$ Un círculo que es internamente tangente al círculo circunscrito del triángulo es también tangente a los lados $AB, AC$ en los puntos $P,$ respectivamente $Q.$ Demuestre que el punto medio de $PQ$ es el centro del círculo inscrito del triángulo $ABC.$