3 Definamos el corte de un polígono convexo con $n$ lados eligiendo un par de lados consecutivos $AB$ y $BC$ y sustituyéndolos por tres segmentos $AM, MN$ y $NC$, donde $M$ es el punto medio de $AB$ y $N$ es el punto medio de $BC$. En otras palabras, se elimina el triángulo $MBN$ y se obtiene un polígono convexo con $n+1$ lados. Sea $P_6$ un hexágono regular con área $1$. Se corta $P_6$ y se obtiene el polígono $P_7$. Luego se corta $P_7$ de una de siete maneras y se obtiene el polígono $P_8$, y así sucesivamente. Demuestra que, sin importar cómo se hagan los cortes, el área de $P_n$ siempre es mayor que $2/3$.

4 Pablo y Silvia juegan en un tablero de $2010 \times 2010$. Para empezar el juego, Pablo escribe un entero en cada casilla. Cuando termina, Silvia repite la siguiente operación tantas veces como quiera: elige tres casillas que formen una $L$, como en la figura de abajo, y suma $1$ a cada uno de los números de esas tres casillas. Silvia gana si, después de hacer la operación muchas veces, todos los números del tablero son múltiplos de $10$. Demuestra que Silvia siempre puede ganar. $\begin{array}{|c|c} \cline{1-1} \; & \; \\ \hline \; & \multicolumn{1}{|c|}{\;} \\ \hline \end{array} \qquad \begin{array}{c|c|} \cline{2-2} \; & \; \\ \hline \multicolumn{1}{|c|}{\;} & \; \\ \hline \end{array} \qquad \begin{array}{|c|c} \hline \; & \multicolumn{1}{|c|}{\;} \\ \hline \multicolumn{1}{|c|}{\;} & \; \\ \cline{1-1} \end{array} \qquad \begin{array}{c|c|} \hline \multicolumn{1}{|c|}{\;} & \; \\ \hline \; & \multicolumn{1}{|c|}{\;} \\ \cline{2-2} \end{array}$

5 El incírculo del triángulo \(ABC\) toca los lados \(BC\), \(AC\) y \(AB\) en \(D, E\) y \(F\), respectivamente. Sean \(\omega_a, \omega_b\) y \(\omega_c\) las circunferencias circunscritas de los triángulos \(EAF, DBF\) y \(DCE\), respectivamente. Las rectas \(DE\) y \(DF\) cortan a \(\omega_a\) en \(E_a \neq E\) y \(F_a \neq F\), respectivamente. Sea \(r_A\) la recta \(E_aF_a\). Define \(r_B\) y \(r_C\) de manera análoga. Muestra que las rectas \(r_A\), \(r_B\) y \(r_C\) determinan un triángulo con sus vértices sobre los lados del triángulo \(ABC\).

1 Sea $\mathcal{P}$ el conjunto de todos los polinomios con coeficientes en $\{0, 1\}$. Supón que $a, b$ son enteros no nulos tales que para todo $f \in \mathcal{P}$ con $f(a)\neq 0$, se tiene que $f(a) \mid f(b)$. Demuestra que $a=b$. Propuesto por Shashank Ingalagavi y Krutarth Shah.

2 Dado un triángulo \(ABC\), sean \(A',B',C'\) los pies de las perpendiculares trazadas desde el baricentro \(G\) del triángulo \(ABC\) sobre los lados \(BC,CA,AB\) respectivamente. Refleja \(A',B',C'\) a través de \(G\) para obtener \(A'',B'',C''\) respectivamente. Demuestra que las rectas \(AA'',BB'',CC''\) son concurrentes.

3 Todos los lados y diagonales de un $n$-ágono convexo, $n\ge 3$, están coloreados con uno de dos colores. Demuestra que existen $\left[\frac{n+1}{3}\right]$ segmentos monocromáticos disjuntos por pares. (Dos segmentos son disjuntos si no comparten un extremo ni un punto interior).

4 Sea $p$ un número primo de la forma $4k+3$. Demuestra que no existen enteros $w,x,y,z$ cuyo producto no sea divisible por $p$, tales que: \[ w^{2p}+x^{2p}+y^{2p}=z^{2p}. \]

6 Sea $Q$ un tablero de $(2n+1) \times (2n+1)$. Algunas de sus casillas están coloreadas de negro de tal manera que todo subtablero de $2 \times 2$ de $Q$ tiene a lo más $2$ casillas negras. Encuentra la cantidad máxima de casillas negras que puede tener el tablero.

4 El triángulo $ABC$ está inscrito en una circunferencia $\gamma$ de centro $O$, con $AB < AC$. Un punto $D$ sobre la bisectriz del ángulo $\angle BAC$ y un punto $E$ sobre el segmento $BC$ satisfacen que $OE$ es paralelo a $AD$ y $DE \perp BC$. El punto $K$ está sobre la prolongación de $EB$ tal que $EA = EK$. Una circunferencia que pasa por los puntos $A,K,D$ corta a la prolongación de $BC$ en el punto $P$, y corta a la circunferencia de centro $O$ en el punto $Q \ne A$. Demuestra que la recta $PQ$ es tangente a la circunferencia $\gamma$.

1 Encuentra todos los tripletes de enteros positivos $(x,y,z)$ tales que $x^{2}+y^{2}+z^{2}=2011$.