3 Demuestre que para todo entero positivo $n$ el polinomio $f(x)=(x^2+x)^{2^n}+1$ no puede descomponerse en el producto de dos polinomios enteros no constantes. Marius Cavachi

2 Todos los vértices de un pentágono convexo están en puntos de la retícula. Demuestre que el área del pentágono es al menos $\frac{5}{2}$ . Bogdan Enescu

1 (a) Demuestre la ley del paralelogramo, que afirma que en un paralelogramo la suma de los cuadrados de las longitudes de los cuatro lados es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de las dos diagonales. (b) Las aristas de un tetraedro tienen longitudes $a, b, c, d, e$ y $f$ . Los tres segmentos de recta que conectan los centros de las aristas que se intersecan tienen longitudes $x, y$ y $z$ . Demuestre que $$4 (x^2 + y^2 + z^2) = a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + e^2 + f^2$$

3 Sean $ a,b,c$ números reales positivos tales que $ abc=\frac{9}{4}$ . Demuestre la desigualdad: $ a^3 + b^3 + c^3 > a\sqrt {b + c} + b\sqrt {c + a} + c\sqrt {a + b}$ Variante del jurado: Demuestre lo mismo, pero con $ abc=2$

2 Una progresión aritmética infinita cuyos términos son enteros positivos contiene el cuadrado de un entero y el cubo de un entero. Demuestre que contiene la sexta potencia de un entero.

3 Sea $n$ un entero positivo y sea $\mathcal{P}_n$ el conjunto de los polinomios enteros de la forma $a_0+a_1x+\ldots +a_nx^n$ donde $|a_i|\le 2$ para $i=0,1,\ldots ,n$ . Halle, para cada entero positivo $k$ , el número de elementos del conjunto $A_n(k)=\{f(k)|f\in \mathcal{P}_n \}$ . Marian Andronache

2 En cada celda de un tablero de $N$ filas y $N + 1$ columnas se escribe un entero. Demuestra que se pueden eliminar algunas columnas (posiblemente ninguna) de modo que en cada fila la suma de los números que quedan sin tachar sea par.

2 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y sea $M$ el punto medio del lado $BC$ . Sea $N$ un punto en el interior del triángulo $ABC$ tal que $\angle NBA=\angle BAM$ y $\angle NCA=\angle CAM$ . Demuestre que $\angle NAB=\angle MAC$ . Gabriel Nagy

4 Cada uno de 2009 puntos distintos del plano está coloreado de azul o de rojo, de modo que en toda circunferencia unitaria centrada en un punto azul hay exactamente dos puntos rojos. Halle el mayor número posible de puntos azules.

3 Demuestre que todo número racional positivo puede representarse en la forma $\dfrac{a^{3}+b^{3}}{c^{3}+d^{3}}$ donde a,b,c,d son enteros positivos.