4 Sea $P(x)$ un polinomio con coeficientes enteros para el cual existe un entero positivo n tal que las partes reales de todas las raíces de $P(x)$ son menores que $n- \frac{1}{2}$ , el polinomio $x-n+1$ no divide a $P(x)$ , y $P(n)$ es un número primo. Demuestre que el polinomio $P(x)$ es irreducible (sobre $Z[x]$ ) .

1 El número $n{}$ contiene $k{}$ unidades en el sistema binario. Demuestre que $2^{n-k}{}$ divide a $n!$ .

5 Halle todos los polinomios $P(X)$ de cuarto grado con coeficientes reales que verifican las propiedades: a) $P(-x)=P(x), \forall x\in\mathbb{R};$ b) $P(x)\geq0, \forall x\in\mathbb{R};$ c) $P(0)=1;$ d) $P(X)$ tiene exactamente dos mínimos locales $x_1$ y $x_2$ tales que $|x_1-x_2|=2.$

3 En el triángulo $ABC$ las medianas trazadas desde $B$ y $C$ son perpendiculares. Demuestre que $\frac{\sin(B+C)}{\sin B \cdot \sin C} \geq \frac{2}{3}.$

4 Resuelva en enteros positivos la siguiente ecuación $$\left [\sqrt{1}\right]+\left [\sqrt{2}\right]+\left [\sqrt{3}\right]+\ldots+\left [\sqrt{x^2-2}\right]+\left [\sqrt{x^2-1}\right]=125,$$ donde $[a]$ es la parte entera del número real $a$ .

5 Dentro del triángulo acutángulo $ABC$ el punto $P{}$ está sobre la altura $AA_1{}$ . Las rectas $BP{}$ y $CP{}$ intersecan los lados $AC{}$ y $AB{}$ , respectivamente, en los puntos $B_1{}$ y $C_1{}$ . Demuestre que: a) $AA_1{}$ es la bisectriz del ángulo $B_1A_1C_1;$ b) si las rectas $BC$ y $B_1C_1$ son concurrentes, entonces la posición de su intersección no depende de $P.$

6 Los números $1,2,...,2n-1,2n$ se dividen en dos conjuntos disjuntos, $a_1 < a_2 < ... < a_n$ y $b_1 > b_2 > ... > b_n$ . Demuestre que $$|a_1 - b_1| + |a_2 - b_2| + ... + |a_n - b_n| = n^2.$$

10 Dado un triángulo equilátero $ABC$ y un punto $M$ en el plano ( $ABC$ ) . Sean $A', B', C'$ respectivamente los simétricos respecto de $M$ de los puntos $A, B, C$ . I. Demuestre que existe un único punto $P$ equidistante de $A$ y $B'$ , de $B$ y $C'$ y de $C$ y $A'$ . II. Sea $D$ el punto medio del lado $AB$ . Cuando $M$ varía ( $M$ no coincide con $D$ ) , demuestre que la circunferencia circunscrita del triángulo $MNP$ ( $N$ es la intersección de la recta $DM$ con $AP$ ) pasa por un punto fijo.

3 Sea $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ una función definida como el máximo de un número finito de funciones $g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ de la forma $g(x)=C\cdot10^{-|x-d|}$ (con diferentes valores de los parámetros $d{}$ y $C>0$ ) . Para números reales $a<b$ tenemos $f(a)=f(b)$ . Demuestre que en el segmento $[a;b]$ la suma de las longitudes de los segmentos en los que $f$ es creciente es igual a la suma de las longitudes de los segmentos en los que $f$ es decreciente.

12 Suponga que en cierta sociedad, cada par de personas puede clasificarse como amistoso u hostil . Diremos que cada miembro de un par amistoso es amigo del otro, y cada miembro de un par hostil es enemigo del otro. Suponga que la sociedad tiene $\, n \,$ personas y $\, q \,$ pares amistosos, y que para todo conjunto de tres personas, al menos un par es hostil. Demuestre que hay al menos un miembro de la sociedad cuyos enemigos incluyen $\, q(1 - 4q/n^2) \,$ o menos pares amistosos.