3 En un triángulo $ABC$ , sean $D$ y $E$ los pies de las bisectrices de los ángulos $A$ y $B$ , respectivamente. Un rombo está inscrito en el cuadrilátero $AEDB$ (todos los vértices del rombo se encuentran en lados distintos de $AEDB$ ) . Sea $\varphi$ el ángulo no obtuso del rombo. Demuestre que $\varphi \le \max \{ \angle BAC, \angle ABC \}$ .

1 $n$ es un entero positivo impar y $x,y$ son dos números racionales que satisfacen $$x^n+2y=y^n+2x.$$ Demuestre que $x=y$ .

2 Dado un rectángulo reticular de $m\times n$ con $m,n \ge 4$ y un camino cerrado $P$ sin autointersecciones que pasa por puntos interiores de la retícula, sea $A$ el número de puntos de $P$ en los cuales $P$ no gira, sea $B$ el número de cuadrados por dos de cuyos lados no adyacentes pasa $P$ , y sea además $C$ el número de cuadrados que no tienen ningún lado en $P$ . Demuestre que $$A=B-C+m+n-1.$$

3 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $|AB| \neq |AC|$ y sean los puntos medios de los segmentos $[AB]$ y $[AC]$ los puntos $D$ resp. $E$ . Las circunferencias circunscritas de los triángulos $BCD$ y $BCE$ intersecan la circunferencia circunscrita del triángulo $ADE$ en $P$ resp. $Q$ con $P \neq D$ y $Q \neq E$ . Demuestre que $|AP|=|AQ|$ . (Notación: $|\cdot|$ denota la longitud de un segmento y $[\cdot]$ denota el segmento de recta.)

3 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con circunferencia circunscrita $\omega$ . Demuestre que existe un punto $J$ tal que para cualquier punto $X$ interior a $ABC$ , si $AX,BX,CX$ intersecan a $\omega$ en $A_1,B_1,C_1$ y $A_2,B_2,C_2$ son los reflejos de $A_1,B_1,C_1$ respecto a los puntos medios de $BC,AC,AB$ respectivamente, entonces $A_2,B_2,C_2,J$ se encuentran sobre una circunferencia.

1 Halle el menor entero $k$ tal que, para cualquier tabla de $2011 \times 2011$ llena con enteros que Kain elija, Abel pueda cambiar a lo sumo $k$ casillas para obtener una nueva tabla en la cual las $4022$ sumas de filas y columnas sean dos a dos distintas.

2 Hay $n$ puntos en el plano tales que no hay tres colineales. Demuestre que el número de triángulos cuyos vértices se eligen entre estos $n$ puntos y cuya área es 1 no es mayor que $\frac23(n^2-n)$ . Amir

3 Sea $n \geq 1$ un entero. ¿Cuál es el número máximo de pares disjuntos de elementos del conjunto $\{ 1,2,\ldots , n \}$ tales que las sumas de los distintos pares sean enteros distintos que no excedan $n$ ?

2 Llame admisible a un conjunto $A$ de enteros que tiene la siguiente propiedad: si $x,y \in A$ (posiblemente $x=y$ ), entonces $x^2+kxy+y^2 \in A$ para todo entero $k$ . Determine todos los pares $m,n$ de enteros no nulos tales que el único conjunto admisible que contiene tanto a $m$ como a $n$ es el conjunto de todos los enteros. Propuesto por Warut Suksompong, Tailandia

Se dan 3 números reales positivos $a_1, \dots, a_k, b_1, \dots, b_k$. Sea $A = \sum_{i = 1}^k a_i, B = \sum_{i = 1}^k b_i$. Demuestra la desigualdad \[ \left( \sum_{i = 1}^k \frac{a_i b_i}{a_i B + b_i A} - 1 \right)^2 \ge \sum_{i = 1}^k \frac{a_i^2}{a_i B + b_i A} \cdot \sum_{i = 1}^k \frac{b_i^2}{a_i B + b_i A}. \]