2 Se colocan veintiún rectángulos de tamaño $3\times 1$ sobre un tablero de ajedrez $8\times 8$ , dejando solo un cuadrado unitario libre. ¿En qué posición puede estar el cuadrado libre?

3 Una función $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ satisface las condiciones \[\begin{cases}f(x+24)\le f(x)+24\\ f(x+77)\ge f(x)+77\end{cases}\quad\text{for all}\ x\in\mathbb{R}\] Demuestre que $f(x+1)=f(x)+1$ para todo real $x$ .

4 En un triángulo $ABC$ , $P$ y $Q$ son los pies de las alturas desde $B$ y $A$ respectivamente. Halle el lugar geométrico del circuncentro del triángulo $PQC$ , cuando el punto $C$ varía (con $A$ y $B$ fijos) de modo que $\angle ACB$ sea igual a $60^{\circ}$ .

1 Dada una circunferencia $\gamma$ y un punto $P$ en su interior, halle el valor máximo y mínimo de la suma de las longitudes de dos cuerdas perpendiculares de $\gamma$ que pasan por $P$ .

2 Halle todos los números primos $p$ para los cuales $\frac{2^{p-1} -1}{p}$ es un cuadrado perfecto.

3 Halle todas las funciones $f : R \to R$ que satisfacen la condición $f(x- f(y)) = 1+x-y$ para todos $x,y \in R$ .

4 Sea $X$ un conjunto de $n$ elementos y sea $k$ un entero positivo. Considere la familia $S_k$ de todas las $k$ - uplas $(E_1,...,E_k)$ con $E_i \subseteq X$ para cada $i$ . Evalúe las sumas $\sum_{(E_1,...,E_k) \in S_k }|E_1 \cap ... \cap E_k|$ y $\sum_{(E_1,...,E_k) \in S_k }|E_1 \cup ... \cup E_k|$

4 En una sucesión $a_1, a_2, . . . , a_{1000}$ formada por $1000$ números distintos, un par $(a_i, a_j )$ con $i < j$ se llama ascendente si $a_i < a_j$ y descendente si $a_i > a_j$ . Determine el mayor entero positivo $k$ con la propiedad de que toda sucesión de $1000$ números distintos tiene al menos $k$ pares ascendentes no superpuestos o al menos $k$ pares descendentes no superpuestos.

1 Considere un triángulo acutángulo $ABC$ con $|AB| > |CA| > |BC|$ . Los vértices $D, E$ y $F$ son los pies de las alturas trazadas desde $A, B$ y $C$ , respectivamente. La recta por F paralela a $DE$ interseca a $BC$ en $M$ . La bisectriz del ángulo $\angle MF E$ interseca a $DE$ en $N$ . Demuestre que $F$ es el circuncentro de $\vartriangle DMN$ si y solo si $B$ es el circuncentro de $\vartriangle FMN$ .

3 Para números reales $x$ e $y$ definimos $M(x, y)$ como el máximo de los tres números $xy$ , $(x- 1)(y - 1)$ y $x + y - 2xy$ . Determine el menor valor posible de $M(x, y)$ cuando $x$ e $y$ recorren todos los números reales que satisfacen $0 \le x, y \le 1$ .