8 En un antiguo manuscrito encontrado en las ruinas de Persépolis está escrito: Este manuscrito fue terminado en un año cuya potencia 13 es 258145266804692077858261512663 Debes saber que si eres hábil en Aritmética sabrás fácilmente el año en que este manuscrito fue terminado. Encuentra el año en que el manuscrito fue terminado. Da una razón para tu respuesta. Omid

$ T$$ a,b,c,d,e$$ a+b=c+d+e$\[ \sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+e^{2}}\geq T(\sqrt a+\sqrt b+\sqrt c+\sqrt d+\sqrt e)^{2}\]

$ n_{1},n_{2},\dots$$ n_{i}\geq2$$ \epsilon_{1},\epsilon_{2},\dots$$ \epsilon_{i}\in\{1,2\}$\[ \sqrt[n_{1}]{\epsilon_{1}+\sqrt[n_{2}]{\epsilon_{2}+\dots+\sqrt[n_{k}]{\epsilon_{k}}}}\]$ (1,2]$$ \sqrt[n_{1}]{\epsilon_{1}+\sqrt[n_{2}]{\epsilon_{2}+\dots}}$$ x\in(1,2]$$ n_{1},n_{2},\dots\in\mathbb N$$ n_{i}\geq2$$ \epsilon_{1},\epsilon_{2},\dots$$ n_{i}\geq2$$ \epsilon_{i}\in\{1,2\}$$ x=\sqrt[n_{1}]{\epsilon_{1}+\sqrt[n_{2}]{\epsilon_{2}+\dots}}$

$ f(x,y),g(x,y)$\[ \left\{\begin{array}{c}f(x,y)=0\\ g(x,y)=0\end{array}\right.\]$ \mathbb C^{2}$$ f(x,y)$$ g(x,y)$

$ ABC$$ l$$ P$$ A',B',C'$$ A,B,C$$ P$$ A''$$ B'C'$$ AA''\parallel l$$ B'',C''$$ A'',B'',C''$

$ ABC$$ O$$ BO$$ CO$$ AC,AB$$ B',C'$$ B'C'$$ P,Q$$ AP=AQ$$ ABC$$ O$$ I$

$ I$$ ABC$$ M$$ BC$$ T$$ IM$$ I$$ M$$ T$$ \angle BIM-\angle CIM=\frac{3}2(\angle B-\angle C)$$ AT\perp BC$

$ a,b,c$\[ \left|\frac{a+b}{a-b}+\frac{b+c}{b-c}+\frac{c+a}{c-a}\right|>1\]

4 Sea $ ABC$ un triángulo, y sea $ D$ un punto donde la circunferencia inscrita toca al lado $ BC$ . $ M$ es el punto medio de $ BC$ , y $ K$ es un punto de $ BC$ tal que $ AK\perp BC$ . Sea $ D'$ un punto de $ BC$ tal que $ \frac{D'M}{D'K}=\frac{DM}{DK}$ . Defina $ \omega_{a}$ como la circunferencia con diámetro $ DD'$ . Definimos $ \omega_{B},\omega_{C}$ de manera similar. Demuestre que cualesquiera dos de estas circunferencias son tangentes. Omid

5 Sea $ ABC$ un triángulo. Los cuadrados $ AB_{c}B_{a}C$ , $ CA_{b}A_{c}B$ y $ BC_{a}C_{b}A$ están fuera del triángulo. El cuadrado $ B_{c}B_{c}'B_{a}'B_{a}$ con centro $ P$ está fuera del cuadrado $ AB_{c}B_{a}C$ . Demuestre que $ BP,C_{a}B_{a}$ y $ A_{c}B_{c}$ son concurrentes. Omid