1 Sea $ n > 1, n \in \mathbb{Z}$ y $ B =\{1,2,\ldots, 2^n\}.$ Un subconjunto $ A$ de $ B$ se llama extraño si contiene exactamente uno de los elementos distintos $ x,y \in B$ tales que la suma de $ x$ y $ y$ es una potencia de dos. ¿Cuántos subconjuntos extraños tiene $ B$ ?

3 Sea $n >3$ un entero positivo impar y $n=\prod_{i=1}^k p_i^{\alpha_i}$ donde los $p_i$ son primos y los $\alpha_i$ son enteros positivos. Sabemos que \[m=n(1-\frac{1}{p_1})(1-\frac{1}{p_2})(1-\frac{1}{p_3}) \cdots (1-\frac{1}{p_n}).\] Demuestre que existe un primo $P$ tal que $P|2^m -1$ pero $P \nmid n.$ Amir

1 Sea $f$ una función no constante del conjunto de los enteros positivos en el conjunto de los enteros positivos, tal que $a-b$ divide a $f(a)-f(b)$ para todos los enteros positivos distintos $a$ , $b$ . Demuestre que existen infinitos primos $p$ tales que $p$ divide a $f(c)$ para algún entero positivo $c$ . Propuesto por Juhan Aru, Estonia

3 En un tablero de $999\times 999$ , una torre coja puede moverse de la siguiente manera: desde cualquier casilla puede moverse a cualquiera de sus casillas adyacentes, es decir, una casilla que comparte un lado con ella, y cada movimiento debe ser un giro, es decir, las direcciones de dos movimientos consecutivos cualesquiera deben ser perpendiculares. Una ruta sin autointersecciones de la torre coja consiste en una sucesión de casillas dos a dos distintas que la torre coja puede visitar en ese orden mediante una sucesión admisible de movimientos. Tal ruta sin autointersecciones se llama cíclica , si la torre coja puede, después de alcanzar la última casilla de la ruta, moverse directamente a la primera casilla de la ruta y comenzar de nuevo. ¿Cuántas casillas visita la ruta cíclica sin autointersecciones más larga posible de una torre coja? Propuesto por Nikolay Beluhov, Bulgaria

4 Sea un cuadrado de $n\times n$ (donde $n$ es un entero positivo) que consta de $n^2$ cuadrados unitarios. Un *camino monótono* en este cuadrado es un camino de longitud $2n$ que comienza en la esquina inferior izquierda del cuadrado, termina en su esquina superior derecha y recorre los lados de los cuadrados unitarios. Para cada $k$, $0\leq k\leq 2n-1$, sea $S_k$ el conjunto de todos los caminos monótonos tales que el número de cuadrados unitarios que quedan debajo del camino deja resto $k$ al dividirse por $2n-1$. Demuestra que todos los $S_k$ contienen el mismo número de elementos.

1 Sea $ABC$ un triángulo. La circunferencia inscrita de $ABC$ toca los lados $AB$ y $AC$ en los puntos $Z$ y $Y$ , respectivamente. Sea $G$ el punto donde se cortan las rectas $BY$ y $CZ$ , y sean $R$ y $S$ puntos tales que los dos cuadriláteros $BCYR$ y $BCSZ$ son paralelogramos. Demuestre que $GR=GS$ . Propuesto por Hossein Karke Abadi, Irán

2 Para un entero $m\geq 1$ , consideramos particiones de un tablero de ajedrez de $2^m\times 2^m$ en rectángulos formados por casillas del tablero, en las cuales cada una de las $2^m$ casillas a lo largo de una diagonal forma un rectángulo separado de lado $1$ . Determine la menor suma posible de los perímetros de los rectángulos en tal partición. Propuesto por Gerhard Woeginger, Países Bajos

3 Halle todas las funciones $f$ del conjunto de los números reales en el conjunto de los números reales que satisfacen para todo $x$ , $y$ la identidad \[ f\left(xf(x+y)\right) = f\left(yf(x)\right) +x^2\] Propuesto por Japón

1 En el plano tenemos puntos $P,Q,A,B,C$ tales que los triángulos $APQ,QBP$ y $PQC$ son semejantes de manera concordante (misma orientación). Entonces sean $A'$ ( $B',C'$ respectivamente) las intersecciones de las rectas $BP$ y $CQ$ ( $CP$ y $AQ;$ $AP$ y $BQ,$ respectivamente). Demuestre que los puntos $A,B,C,A',B',C'$ se encuentran sobre una circunferencia.

2 Se nos dan $m,n \in \mathbb{Z}^+.$ Demuestre que el número de $4-$ uplas $(a,b,c,d)$ de soluciones del sistema \begin{align*} ab + bc + cd - (ca + ad + db) &= m\\ 2 \left(a^2 + b^2 + c^2 + d^2 \right) - (ab + ac + ad + bc + bd + cd) &= n \end{align*} es divisible por 10.