4 Halle todos los números primos $p$ para los cuales existen números naturales $m$ y $n$ tales que $p^{m}=n^{3}+8$ .

3 Sea $p(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n$ un polinomio con coeficientes enteros tal que $p(0)\neq0$ y $p(r)=p(s)=0$ para dos enteros $0<r<s$ . Demuestre que para algún $k$ , $a_k\leq-s$ .

4 Para cualquier entero positivo $m$ , demuestre que existe una matriz real $m\times m$ $A$ tal que $A^3=A+I$ . Además, demuestre que para cualquier $A$ de este tipo, el determinante de $A$ es positivo.

1 Demuestre que el número $A=\frac{1^{4}+2024^{4}+2025^{4}}{1^{2}+2024^{2}+2025^{2}}$ es un entero.

4 Halle todos los pares de enteros $(x,y)$ que satisfacen \[(x^{2}-3x-1)(x^{2}-x+1)=7\cdot3^{y}.\]

3 Sean $x, y, z$ números reales positivos tales que \[x+y+z\geqslant\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\;\text{and}\;xyz=1.\] Demuestre que $\min\{x+y, y+z, z+x\}\leqslant2$ .

2 En un triángulo rectángulo $A B C$ , se traza la altura $C H$ hacia la hipotenusa $A B$ . En los triángulos $A C H$ y $B C H$ se trazan las bisectrices $C K$ y $C L$ , respectivamente. Resulta que el punto $L$ es el punto medio de la hipotenusa $A B$ . Halle la razón $\frac{2CH-AK}{KL}$ .

1 (a) Demuestre que para todos los números reales $x, y, z$ , \[x^{3}+y^{3}+z^{3}-3xyz=(x+y+z)(x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy-xz-yz).\] (b) Halle todos los pares $(a,b)$ de números reales que satisfacen $a^{3}+b^{3}+6ab=8$ .

5 Un laboratorio tiene $462$ cristales de aspecto idéntico. Entre ellos, hay exactamente un cristal de energía y un cristal neutralizador (que suprime el efecto del cristal de energía). Los $460$ restantes son cristales ordinarios. El científico coloca todos los cristales en una caja y ya no puede distinguirlos visualmente. En una prueba, el científico puede colocar cualquier número de cristales (de $1$ a $462$ ) en un detector. El detector entonces informa de acuerdo con las siguientes reglas: Si el detector contiene solo cristales ordinarios, no responde. Si el detector contiene el cristal de energía pero no el neutralizador, se enciende en verde. Si el detector contiene el neutralizador (independientemente de si el cristal de energía está presente), no emite señal — el efecto del cristal de energía queda suprimido. Sin embargo, la batería del detector permite solo $11$ pruebas. ¿Puede el científico, usando a lo sumo $11$ pruebas, determinar cuál de los $462$ cristales es el cristal de energía?

1 Un helado cuesta $2000$ tenge. Marat tiene $400^{5}-399^{2}\cdot(400^{3}+2\cdot400^{2}+3\cdot 400+4)$ tenge. ¿Tiene Marat suficiente dinero para comprar el helado?