3 Halle el máximo número posible de reyes en un tablero de ajedrez $12\times 12$ de modo que cada rey ataque exactamente a uno de los otros reyes (un rey ataca solo las casillas que tienen un punto común con la casilla en la que se encuentra).

2 Sea $\gamma$ una circunferencia y $l$ una recta de su plano. Sea $K$ un punto sobre $l$ , situado fuera de $\gamma$ . Sean $KA$ y $KB$ las tangentes desde $K$ a $\gamma$ , donde $A$ y $B$ son puntos distintos de $\gamma$ . Sean $P$ y $Q$ dos puntos de $\gamma$ . Las rectas $PA$ y $PB$ intersecan a la recta $l$ en dos puntos $R$ y $S$ , respectivamente. Las rectas $QR$ y $QS$ intersecan por segunda vez a la circunferencia $\gamma$ en los puntos $C$ y $D$ . Demuestre que las tangentes desde $C$ y $D$ a $\gamma$ son concurrentes sobre la recta $l$ .

4 Sea $k$ un entero positivo. Halle el valor máximo de \[a^{3k-1}b+b^{3k-1}c+c^{3k-1}a+k^2a^kb^kc^k,\] donde $a$ , $b$ , $c$ son números reales no negativos tales que $a+b+c=3k$ .

3 Sean $a_1$ , $\ldots$ , $a_n$ enteros positivos y $a$ un entero positivo mayor que $1$ y divisible por el producto $a_1a_2\ldots a_n$ . Demuestre que $a^{n+1}+a-1$ no es divisible por el producto $(a+a_1-1)(a+a_2-1)\ldots(a+a_n-1)$ .

4 Sea $S$ un conjunto de enteros positivos, cada uno de los cuales tiene exactamente $100$ dígitos en su representación en base $10$ . Un elemento de $S$ se llama átomo si no es divisible por la suma de cualesquiera dos elementos (no necesariamente distintos) de $S$ . Si $S$ contiene a lo sumo $10$ átomos, ¿cuántos elementos puede tener $S$ como máximo?

2 Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico tal que los triángulos $BCD$ y $CDA$ no son equiláteros. Demuestre que si la recta de Simson de $A$ con respecto a $\triangle BCD$ es perpendicular a la recta de Euler de $BCD$ , entonces la recta de Simson de $B$ con respecto a $\triangle ACD$ es perpendicular a la recta de Euler de $\triangle ACD$ .

3 Sean $A$ y $B$ conjuntos finitos de números reales y sea $x$ un elemento de $A+B$ . Demuestre que \[|A\cap (x-B)|\leq \frac{|A-B|^2}{|A+B|}\] donde $A+B=\{a+b: a\in A, b\in B\}$ , $x-B=\{x-b: b\in B\}$ y $A-B=\{a-b: a\in A, b\in B\}$ .

4 Demuestre que todo grafo plano simple finito tiene una orientación tal que todo vértice tiene grado de salida a lo sumo 3.

1 Demuestre que para todo entero positivo $n\geq 2$ se tiene que \[\sum_{k=2}^n \lfloor \sqrt[k]{n}\rfloor=\sum_{k=2}^n\lfloor\log_{k}n\rfloor.\]

3 Determine todos los conjuntos finitos $S$ de puntos del plano con la siguiente propiedad: si $x,y,x',y'\in S$ y los segmentos cerrados $xy$ y $x'y'$ se intersecan en un solo punto, a saber $z$ , entonces $z\in S$ .